[Risolto] Aiuto per un problema su un trapezio rettangolo

In un trapezio rettangolo la differenza fra le basi è 7 cm. Sapendo che la base maggiore B è congruente al lato obliquo lo e che la diagonale AC congiungente un vertice del lato obliquo con un vertice della base maggiore misura 30 cm, calcola l'area e il perimetro del trapezio.

Soluzione area: 516 cm2

Soluzione perimetro: 92 cm

AC = 30 cm

p = 7 cm 

h^2 = 30^2-(B-7)^2

h^2 = B^2-7^2

si uguagliano le espressioni di h^2

30^2-B^2-49+14B = B^2-49

2B^2-14B-900 = 0 

B^2-7B-450 = 0

B = (7+√7^2+4*450)/2 = (7+43)/2 = 25 cm 

b = 25-7 = 18 cm 

h = √25^2-7^2 = 24 cm 

perimetro = 2*25+18+24 = 92 cm

area A = (B+b)*h/2 = 43*12 = 516 cm^2

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$\small\text{Base minore } b= x;$

$\small\text{proiezione lato obliquo } p= 7\,cm;$

$\small\text{base maggiore } B= x+7;$

$\small\text{lato obliquo } l= x+7;$

$\small\text{diagonale minore } d= 30\,cm;$

$\small\text{calcola l'altezza applicando il teorema di Pitagora  nella seguente equazione:}$

$\small (x+7)^2-7^2= 30^2-x^2$

$\small x^2+14x\cancel{+49}\cancel{-49} = 900-x^2$

$\small x^2+14x+x^2 = 900$ $\quad\small\text{eguaglia a zero:}$

$\small 2x^2+14x-900 = 0$ $\quad\small\text{dividi tutto per 2:}$

$\small x^2+7x-450=0$ $\quad\small\text{per cui:}$

$\small a= 1; b= 7; c= -450$

$\small \Delta= b^2-4ac = 7^2-(4·1·-450) = 49-(-1800) = 49+1800 = 1849;$

$\small x_{1,2}= \dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-7\pm\sqrt{1849}}{2·1} = \dfrac{-7\pm{43}}{2}$

$\small x_1= \dfrac{-7+43}{2} = \dfrac{36}{2} = 18\,cm;$

$\small x_2= \dfrac{-7-43}{2} = \dfrac{-50}{2} = -25\,cm;$ $\;\small\text{che escludiamo perché negativo, per cui risulta:}$

$\small\text{base minore } b= x = 18\,cm;$

$\small\text{base maggiore } B= x+7 = 18+7 = 25\,cm;$

$\small\text{lato obliquo } l= x+7= 18+7 = 25\,cm;$

$\small\text{altezza } h= \sqrt{d^2-b^2} = \sqrt{30^2-x^2}=\sqrt{30^2-18^2} = 24\,cm\;\text{(teorema di Pitagora});$

$\small\textbf{perimetro } 2p= B+b+h+l = 25+18+24+25 = 92\,cm;$

$\small\textbf{area } A= \dfrac{(B+b)·h}{2} = \dfrac{(25+18)·\cancel{24}^{12}}{\cancel2_1} = 43·12 = 516\,cm^2.$