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TOLC-E: incognite x e y

  

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Ciao a tutti,

Purtroppo spesso mi perdo in un bicchier d'acqua (soprattutto quando mi esercito "troppo"). Non riesco a comprendere questo esercizio:

"Se x ed y sono due numeri positivi tale che x^y > (1/x)^1/y, possiamo concludere con certezza che:

1) x>y

2) y>1

3) x ed y sono entrambi minori di 1

4) x>1

5) x ed y sono entrambi maggiori di 1"

La risposta giusta è la D, ma non capisco perché. Non dovrebbe essere la 5?

Vi ringrazio.

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NO, NON DOVREBBE ESSERE LA 5: nessuna delle cinque è vera ovunque, né falsa ovunque; la quattro e la cinque hanno insiemi di verità più semplici delle altre tre, ma è tutto lì.
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* x^y > (1/x)^(1/y) ≡
≡ x^y > 1/x^(1/y) ≡
≡ (x^y)*x^(1/y) > 1 ≡
≡ x^(y + 1/y) > 1
------------------------------
1) (x^(y + 1/y) > 1) & (x > y) ≡ non vero ovunque
2) (x^(y + 1/y) > 1) & (y > 1) ≡ non vero ovunque
3) (x^(y + 1/y) > 1) & (x < 1) & (y < 1) ≡ non vero ovunque
4) (x^(y + 1/y) > 1) & (x > 1) ≡ (x > 1) & (y > 0) ≡ non vero ovunque
5) (x^(y + 1/y) > 1) & (x > 1) & (y > 1) ≡ (x > 1) & (y > 1) ≡ non vero ovunque

@exprof Perdonami, ma mi rendo conto di essere davvero lontana dal vostro livello 🙁

x^y > (1/x)^(1/y) ≡
≡ x^y > 1/x^(1/y) ≡
≡ (x^y)*x^(1/y) > 1 ≡

 

> Perché la moltiplicazione e non sottrazione, portando a sinistra del segno?

@pothos ci fai la birra con la sottrazione? Non i confronti, di sicuro!

@exprof Eh, così non capisco di sicuro meglio però  😆 Non studio matematica da 15 anni, sto recuperando come posso! Approfondirò e cercherò di capire. 🙂



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y*ln(x) > (1/y)*ln(1/x) 

 

image

 per y = 0 esce fuori 1/0 

image

La risposta 4 (D) è vera solo per x > 1 ed y > 0 

@remanzini_rinaldo Ti ringrazio molto della risposta, purtroppo mi rendo conto di essere davvero ad un livello basso...

Come mai vengono utilizzati i logaritmi?



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x^y > (1/x)^(1/y)

ln(.) é una funzione crescente per cui

ln x^y > ln (1/x)^(1/y)

y ln x > 1/y ln (1/x)

y ln x > - 1/y ln x

(y + 1/y) ln x > 0

(y^2 + 1)/y * ln x > 0

ora il primo fattore per ipotesi é un rapporto di positivi

per cui é positivo.

Segue allora ln x > 0

e^(ln x) > e^0

ovvero x > 1

@eidosm Ti ringrazio anche di questa risposta, purtroppo mi rendo conto di quanto sia basso il mio livello...

Perché utilizzi i logaritmi? E alla fine "e^(ln x) > e^0"?

Uso i logaritmi perché mi portano a trasformare la disuguaglianza in modo più leggibile grazie alle loro proprietà, nell'ultimo passaggio il verso si mantiene perché essendo e maggiore di 1 l'esponenziale è crescente . 

I i



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Ciao a tutti,

Purtroppo spesso mi perdo in un bicchier d'acqua (soprattutto quando mi esercito "troppo"). Non riesco a comprendere questo esercizio:

"Se x ed y sono due numeri positivi tale che x^y > (1/x)^(1/y), possiamo concludere con certezza che:

1) x>y

2) y>1

3) x ed y sono entrambi minori di 1

4) x>1

5) x ed y sono entrambi maggiori di 1"

La risposta giusta è la D, ma non capisco perché. Non dovrebbe essere la 5?

Vi ringrazio.

 

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x^y > (1/x)^(1/y)            con x>0 e y>0

sia 1/x che 1/y sono >0 

 moltiplicando ambo i membri per x^(1/y)  {che è >0  per cui viene mantenuto il verso della diseguaglianza}:

x^y *x^(1/y) > 1  ---> {x^y *x^(1/y) > (1/x)^(1/y) *x^(1/y) = (x/x)^(1/y) = 1^(1/y) = 1}  ---> x^(y + 1/y) >1 

ora se y>0

   y +1/y >1 {quale che sia  y>0}

 

pertanto se x elevato a un numero maggiore di uno è  maggiore di uno  ...

 

allora x>1   {oltrechè x>0 e y>0}

diseg

 

 



Risposta
SOS Matematica

4.6
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