Ciao a tutti,
Purtroppo spesso mi perdo in un bicchier d'acqua (soprattutto quando mi esercito "troppo"). Non riesco a comprendere questo esercizio:
"Se x ed y sono due numeri positivi tale che x^y > (1/x)^1/y, possiamo concludere con certezza che:
1) x>y
2) y>1
3) x ed y sono entrambi minori di 1
4) x>1
5) x ed y sono entrambi maggiori di 1"
La risposta giusta è la D, ma non capisco perché. Non dovrebbe essere la 5?
Vi ringrazio.
16
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Livello 0
NO, NON DOVREBBE ESSERE LA 5: nessuna delle cinque è vera ovunque, né falsa ovunque; la quattro e la cinque hanno insiemi di verità più semplici delle altre tre, ma è tutto lì.
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* x^y > (1/x)^(1/y) ≡
≡ x^y > 1/x^(1/y) ≡
≡ (x^y)*x^(1/y) > 1 ≡
≡ x^(y + 1/y) > 1
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1) (x^(y + 1/y) > 1) & (x > y) ≡ non vero ovunque
2) (x^(y + 1/y) > 1) & (y > 1) ≡ non vero ovunque
3) (x^(y + 1/y) > 1) & (x < 1) & (y < 1) ≡ non vero ovunque
4) (x^(y + 1/y) > 1) & (x > 1) ≡ (x > 1) & (y > 0) ≡ non vero ovunque
5) (x^(y + 1/y) > 1) & (x > 1) & (y > 1) ≡ (x > 1) & (y > 1) ≡ non vero ovunque
51564
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Genius I
@exprof Perdonami, ma mi rendo conto di essere davvero lontana dal vostro livello 🙁
x^y > (1/x)^(1/y) ≡
≡ x^y > 1/x^(1/y) ≡
≡ (x^y)*x^(1/y) > 1 ≡
> Perché la moltiplicazione e non sottrazione, portando a sinistra del segno?
@pothos ci fai la birra con la sottrazione? Non i confronti, di sicuro!
@exprof Eh, così non capisco di sicuro meglio però 😆 Non studio matematica da 15 anni, sto recuperando come posso! Approfondirò e cercherò di capire. 🙂
y*ln(x) > (1/y)*ln(1/x)
per y = 0 esce fuori 1/0
La risposta 4 (D) è vera solo per x > 1 ed y > 0
96604
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Genius II
@remanzini_rinaldo Ti ringrazio molto della risposta, purtroppo mi rendo conto di essere davvero ad un livello basso...
Come mai vengono utilizzati i logaritmi?
x^y > (1/x)^(1/y)
ln(.) é una funzione crescente per cui
ln x^y > ln (1/x)^(1/y)
y ln x > 1/y ln (1/x)
y ln x > - 1/y ln x
(y + 1/y) ln x > 0
(y^2 + 1)/y * ln x > 0
ora il primo fattore per ipotesi é un rapporto di positivi
per cui é positivo.
Segue allora ln x > 0
e^(ln x) > e^0
ovvero x > 1
36952
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Livello 6
@eidosm Ti ringrazio anche di questa risposta, purtroppo mi rendo conto di quanto sia basso il mio livello...
Perché utilizzi i logaritmi? E alla fine "e^(ln x) > e^0"?
Uso i logaritmi perché mi portano a trasformare la disuguaglianza in modo più leggibile grazie alle loro proprietà, nell'ultimo passaggio il verso si mantiene perché essendo e maggiore di 1 l'esponenziale è crescente .
I i
Ciao a tutti,
Purtroppo spesso mi perdo in un bicchier d'acqua (soprattutto quando mi esercito "troppo"). Non riesco a comprendere questo esercizio:
"Se x ed y sono due numeri positivi tale che x^y > (1/x)^(1/y), possiamo concludere con certezza che:
1) x>y
2) y>1
3) x ed y sono entrambi minori di 1
4) x>1
5) x ed y sono entrambi maggiori di 1"
La risposta giusta è la D, ma non capisco perché. Non dovrebbe essere la 5?
Vi ringrazio.
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x^y > (1/x)^(1/y) con x>0 e y>0
sia 1/x che 1/y sono >0
moltiplicando ambo i membri per x^(1/y) {che è >0 per cui viene mantenuto il verso della diseguaglianza}:
x^y *x^(1/y) > 1 ---> {x^y *x^(1/y) > (1/x)^(1/y) *x^(1/y) = (x/x)^(1/y) = 1^(1/y) = 1} ---> x^(y + 1/y) >1
ora se y>0
y +1/y >1 {quale che sia y>0}
pertanto se x elevato a un numero maggiore di uno è maggiore di uno ...
allora x>1 {oltrechè x>0 e y>0}
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Livello 5
