Disegna un trapezio con gli angoli adiacenti alla base maggiore di 45 ° e di 30° e con la base minore congruente al doppio dell'altezza. Il perimetro del trapezio è 3(7+rad2+rad3)cm. Calcola l'area del trapezio e la diagonale opposta all'angola di 30°
3
punti
Livello 0
Ciao, costruendo il trapezio ne risulta:
La base minore è $$ 2h $$
Il lato obliquo adiacente all'angolo di 45° è $$ h\sqrt{\left(2\right)} $$
La proiezione del lato obliquo adiacente all'angolo di 45° sulla base è $$ h $$
Il lato obliquo adiacente all'angolo 30° è $$ 2h $$
La proiezione del lato obliquo adiacente all'angolo di 30° sulla base è $$ \frac{l\sqrt3}{2}=\frac{2h\sqrt3}{2}=h\sqrt3 $$
La base maggiore è la somma delle due proiezioni più la base minore: $$ h+2h+h\sqrt3 $$
$$ P=l_{obliquo1}+l_{obliquo2}+B+b $$
$$ 3\left(7+\sqrt3+\sqrt2\right)cm=h+2h+h\sqrt3+h\sqrt2+2h+2h $$
$$ 3\left(7+\sqrt3+\sqrt2\right)cm=h\left(7+\sqrt3+\sqrt2\right) $$
$$ h=3\operatorname{cm} $$
$$ B=\left(3+6+3\sqrt3\right)cm=\left(9+3\sqrt3\right)cm $$
$$ b=2\cdot3\operatorname{cm}=6\operatorname{cm} $$
$$ l_{obliquo1}=h\cdot\sqrt2=3\cdot\sqrt2cm=3\sqrt2cm $$
$$ l_{obliquo2}=2h=2\cdot3\operatorname{cm}=6\operatorname{cm} $$
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Quindi l'area:
$$ A=\frac{\left(B+b\right)h}{2}=\frac{\left(9+3\sqrt3+6\right)\cdot3}{2}cm^2=\frac12\left(45+9\sqrt3\right)cm^2 $$
La diagonale opposta all'angolo di 30°:
$$ d=\sqrt{\left(B-h\sqrt3\right)^2+h^2}=\sqrt{\left(9\operatorname{\mathrm{cm}}^{}\right)^2+\left(3\operatorname{\mathrm{cm}}\right)^2}=\sqrt{90}cm=3\sqrt{10}cm $$
857
punti
Livello 2
Questa risoluzione non prevede l'utilizzo dei teoremi di Euclide e di Pitagora ma soltanto le proprietà dei triangoli 30°/60° e 45°
