Aiuto con gli integrali definiti

Area di un segmento parabolico:

Determino le ascisse dei punti di intersezione della parabola con la retta 

{y = x+2

{y = 3x² - 2x - 4

Da cui si ricava;

(x-2)(x+1)=0

xA= - 1

xB= 2

Quindi l'area del segmento parabolico è:

A= (1/6)*3*(2+1)³ = 27/2

Oppure puoi utilizzare il teorema di Archimede. In questo caso inutile il calcolo integrale. 

@marco_15

Se è vero che "il libro richiede l’utilizzo degli integrali per questo esercizio" ti devo contestare due errori, entrambi gravi.
1) Errore di italiano: "utilizzo" vuol dire "uso utile" mentre, come t'ha scritto @StefanoPescetto, per calcolare l'area del segmento parabolico gl'integrali non servono; perciò in effetti "il libro richiede l'uso inutile degli integrali per questo esercizio".
2) Errore di netiquette, almeno di questo sito: "Aiuto con gli integrali definiti" è un'invocazione frutto di una frettolosa valutazione dell'esercizio (il richiedente pensa che si tratti di un'area qualsiasi, non parabolica); se invece si tratta che "il libro richiede l'uso degli integrali per questo esercizio", beh, questa è una specificazione che avresti dovuto inserire nella domanda PRIMA di avere risposte e non in un commento SUCCESSIVO. Chi risponde lo fa in base alla domanda che il richiedente pubblica, non a ciò che egli pensava al momento della pubblicazione.
Quindi ciò che segue risponde alla domanda che non è stata pubblicata.
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L'area S compresa fra la retta
* r ≡ y = x + 2
in alto e, in basso, la parabola
* Γ ≡ y = 3*x^2 - 2*x - 4
eguaglia quella compresa fra l'asse x e la parabola differenza
* Γ' ≡ r - Γ ≡ y = x + 2 - (3*x^2 - 2*x - 4) ≡
≡ Γ' ≡ y = 27/4 - 3*(x - 1/2)^2 = - 3*(x + 1)*(x - 2)
sull'intervallo [- 1, 2] di positività.
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INTEGRALI PER QUESTO ESERCIZIO
* f(x) = 27/4 - 3*(x - 1/2)^2
* F(x) = ∫ f(x)*dx = - x^3 + 3*x^2/2 + 6*x + c =
= (20 - (2*(x - 2)^3 + 9*(x - 2)^2))/2 + c
* I(f, a, b) = F(b) - F(a) =
= (12*(b - a) + 3*(b^2 - a^2) - 2*(b^3 - a^3))/2
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* S = ∫ [x = - 1, 2] f(x)*dx = I(f, - 1, 2) =
= (12*(2 - (- 1)) + 3*(2^2 - (- 1)^2) - 2*(2^3 - (- 1)^3))/2 = 27/2
che è proprio quanto è risultato @StefanoPescetto, scrivendo assai meno.
E ciò promuove "uso inutile" a "uso controproducente", altro che utilizzo!

{y = x + 2

{y = 3·x^2 - 2·x - 4

Determino le ascisse di intersezione delle due funzioni:

x + 2 = 3·x^2 - 2·x - 4------> 3·x^2 - 3·x - 6 = 0----> 3·(x + 1)·(x - 2) = 0

x = 2 ∨ x = -1

Quindi osservo che la funzione lineare è superiore a quella parabolica :

(x + 2) - (3·x^2 - 2·x - 4) = - 3·x^2 + 3·x + 6

Integro quindi tale differenza:

∫(- 3·x^2 + 3·x + 6) dx = - x^3 + 3·x^2/2 + 6·x ( ameno di C)

per x=2:

- 2^3 + 3·2^2/2 + 6·2 = 10

per x=-1:

- (-1)^3 + 3·(-1)^2/2 + 6·(-1) = - 7/2

Quindi l'integrale definito è:

10 - (- 7/2) = 27/2