Notifiche
Cancella tutti

[Risolto] Tangenti ed ellisse

  

0

Scrivi le equazioni delle tangenti all’ellisse di equazione x^2+2y^2=9, condotte dal punto (3;3/2). Il libro dice che le due rette risultano x-3=0 e x+4y-9=0. Ma a me non risulta proprio così: ho messo a sistema y-3/2=m(x-3) con l’equazione dell’ellisse e poi ho trovato il delta, ma alla fine mi viene 18+72m. Mi aiutate? Cosa sbaglio?

Autore
89B0289D BAB5 4616 A66C A14E76FFEEE2
Etichette discussione
3 Risposte



3

@giuseppe23

Ciao. Innanzitutto: 18+72m così com'è non significa niente. L'annullamento del Δ , cioè la condizione di tangenza fra retta del fascio proprio ed ellisse non ti permette di cogliere rette verticali cioè del tipo x= costante perché è un limite delle equazioni di rette nella forma esplicita.

Dato per assodato che i tuoi calcoli siano giusti e lo sono, prima di dire la corbelleria in alto, dovresti tentare di fare un disegno della tua ellisse e del punto in questione da cui dovranno partire le tangenti all'ellisse stessa.

I vertici dell'ellisse che stanno sull'asse delle x sono (-3,0) e (3,0).

Quindi uno dei vertici ha la stessa ascissa del punto (3,3/2) dato: significa che tale punto è allineato con (3,0),quindi che i due punti stanno su una retta verticale che, guarda caso è la retta tangente che ti mancava.

Quindi, prima di buttarti a capofitto con la risoluzione analitica, ti consiglio, dove puoi farlo e qui lo puoi, di fare un disegno della situazione per prevedere i risultati del problema.

Quindi hai svolto i calcoli e sei arrivato a scrivere: 18+72m =0 ------> m = - 1/4

Quindi : y = (2·m·x - 6·m + 3)/2  ----> y = (2·(- 1/4)·x - 6·(- 1/4) + 3)/2

y = (9 - x)/4-------> x+4y-9=0

Quindi Ok! Ti mancava solo la retta x=3!

image



0

"Mi aiutate?" Eccomi!
"Cosa sbaglio?" 'a Maronn' 'o sape! "mi viene 18+72m" non spiega molto.
Se t'accontenti ti mostro un metodo generale e come applicarlo, se no ti tocca aggiornare la domanda mettendoti dal punto di vista di chi la legge.
==============================
PROBLEMA DELLE TANGENTI, RETTA POLARE, SDOPPIAMENTI
La retta polare p(Γ, P) del punto P(u, v), il polo, rispetto alla cònica Γ si ottiene dall'equazione di Γ in forma normale canonica, f(x, y) = 0, lasciàndone inalterati i coefficienti e operando le sostituzioni (formule di sdoppiamento):
* x^2 → u*x
* y^2 → v*y
* x*y → (v*x + u*y)/2
* x → (u + x)/2
* y → (v + y)/2
---------------
Se il punto P è interno alla cònica Γ, p(Γ, P) non interessa il problema delle tangenti.
---------------
Se il punto P è sulla cònica Γ, p(Γ, P) è la tangente in P.
---------------
Se il punto P è esterno alla cònica Γ, p(Γ, P) interseca Γ nei punti di tangenza delle tangenti condotte da P.
==============================
ESEMPIO COMPLETO
* Γ ≡ x^2 + 2*y^2 = 9 ≡ x^2 + 2*y^2 - 9 = 0
* P(u, v) = (3, 3/2)
* p(Γ, P) ≡ 3*x + 2*(3/2)*y - 9 = 0 ≡ y = 3 - x
* p(Γ, P) & Γ ≡ (y = 3 - x) & (x^2 + 2*y^2 = 9) ≡ S1(1, 2) oppure S2(3, 0)
la presenza di due intersezioni reali indica che la polare è secante e che il polo è esterno, quindi le tangenti richieste sono le congiungenti
* t1 ≡ PS1 ≡ y = (9 - x)/4
* t2 ≡ PS2 ≡ x = 3
---------------
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx%5E2%2B2*y%5E2%3D9%2C%28x-3%29*%28x%2By-3%29*%28x%2B4y-9%29%3D0%5D

 

@exprof Non ho capito molto, ma allego la foto dell’esercizio per come l’ho fatto io. Spero mi possa mostrare i passaggi da fare e indicare cosa ho sbagliato.  
 

6AE7CD40 E958 451F BB8B 13E883F89B1C

@exprof 

Ricordati gli errori del sito! (con WOLFRAMALPHA). Ciao e buona giornata.



0

Caro Giuseppe 23,
io coi manoscritti mi raccapezzo poco perciò ti dico le mie impressioni sul tuo commento con foto ("Non ho capito molto, ma ... come l'ho fatto io..."), ma senza alcun impegno.
---------------
1) "Non ho capito molto" c'entra poco: nella mia risposta non c'era NULLA DA CAPIRE. Ti ho scritto una serie di meno di dieci definizioni (conica, polo, polare, sdoppiamenti) e t'ho mostrato come applicarle ai tuoi dati: solo fatti, NULLA DA CAPIRE.
---------------
2) "per come l'ho fatto io" la mia impressione è che, delle rette per P(3, 3/2), tu abbia considerato solo quelle con pendenza finita.
Il sistema "genericaRettaPerP & ellisse" si sarebbe dovuto spezzare nell'unione di due sistemi
------------------------------
Per il punto P(3, 3/2) passano tutte e sole le rette:
* R ≡ x = 3, parallela all'asse y;
* r(k) ≡ y = 3/2 + k*(x - 3), per ogni pendenza k reale.
------------------------------
Perciò
* Γ ≡ x^2 + 2*y^2 = 9
va messa a sistema sia con R che con r(k).
---------------
* (x = 3) & (x^2 + 2*y^2 = 9) ≡
≡ (x = 3) & (3^2 + 2*y^2 = 9) ≡
≡ (x = 3) & (2*y^2 = 0) ≡
≡ (x = 3) & (y = 0, due volte) ≡
≡ T(3, 0) intersezione doppia.
Quindi R ≡ x = 3 è tangente Γ.
---------------
* (y = 3/2 + k*(x - 3)) & (x^2 + 2*y^2 = 9)
ha la risolvente
* x^2 + 2*(3/2 + k*(x - 3))^2 - 9 = 0
con discriminante
* Δ(k) = 72*k + 18
che, per la tangenza, si annulla per k = - 1/4; da cui
* r(- 1/4) ≡ y = 3/2 + (- 1/4)*(x - 3) ≡
≡ y = (9 - x)/4
è la seconda tangente.
I risultati sono ovviamente gli stessi, ma questa procedura è un po' più macchinosa.



Risposta




SOS Matematica

4.6
SCARICA