[Risolto] Studio di una funzione

Ciao!

$$ y =10^{-4} e^{- \pi x} (\cos(\pi x)+\sin(\pi x)) $$

Dominio: $\mathbb{R}$

Segno:  $10^{-4} e^{- \pi x} (\cos(\pi x)+\sin(\pi x))  \geq 0 $

ma $10^{-4}$ e $e^{-\pi x }$ sono sempre positivi, quindi possiamo limitare il nostro studio a 

$\cos(\pi x)+\sin(\pi x) \geq 0 $

Dividiamo per $\cos(\pi x)$ ricordandoci che poi dovremo studiare $\cos(\pi x) = 0 $ a parte, al termine del conto. Dividendo otteniamo:

$ 1 + tan(\pi x) \geq 0 $

$tan(\pi x ) \geq -1 $

$\pi x \geq \frac14 \pi $

$ x \geq \frac14$

Dato che stiamo studiando solo $x > 0 \Rightarrow$ la funzione è sempre positiva.

Vediamo separatamente il caso $ \cos(\pi x) = 0 \Rightarrow \pi x = \frac12 \pi \Rightarrow x= \frac12$.

Abbiamo: $\cos(\pi \frac12) +\sin(\pi \frac12) \geq 0 $

$0+1 \geq 0 $ che è verificata, quindi non è necessario escludere $x = \frac12$ dal dominio.

Limiti:

Sappiamo che $\cos(\pi x)$ e $\sin(\pi x )$ non hanno limite per $x \rightarrow +\infty$ perché sono oscillanti, ma fortunatamente ci pensa $e^{-\pi x} $ a "tirare" la funzione verso il basso: nel complesso il limite fa $0$. 

Non è facilissimo da mostrare, bisogna fare delle maggiorazioni/minorazioni, non so se fa parte del tuo programma, quindi non esplicito il conto. se l'hai fatto, è abbastanza facile da fare.

Derivata prima:

$y ' = 10^{-4} \cdot (-\pi) e^{-\pi x} (-\sin(\pi x) \cdot \pi + \cos(\pi x ) \cdot \pi) = -\pi^3 \cdot 10^{-4} \cdot e^{-\pi x} \cdot (\cos(\pi x ) -\sin(\pi x)) \geq 0 $

Anche in questo caso $\pi^3 \cdot 10^{-4} \cdot e^{-\pi x}$ sono termini positivi, dunque li trascuriamo. 

Dobbiamo quindi studiare

$ \sin(\pi x) \geq \cos(\pi x) $

e questo vale solo per $ \frac14 \pi \leq \pi x \leq \frac54 \pi $

quindi $ \frac14 \leq x \leq \frac54 $

 

La funzione è ovviamente periodica, di conseguenza tutto quello studiato fin'ora si ripete periodicamente.

La periodicità è $ \frac{2 \pi}{\pi} = 2 $.

I massimi e i minimi individuati (max = $\frac54$, min = $\frac14$) si ripetono all'infinito, quindi sono infiniti.