Studio di funzione-analisi 1

La presenza del modulo al denominatore della funzione razionale fratta suggerisce che tale funzione sia equivalente ad una funzione definita a tratti.

Quindi liberiamo il modulo mettendo così in evidenza le componenti di tale funzione (definita a tratti) e risolvendo i punti proposti nei tratti di relativa competenza.

ABS(x - 2) = x - 2

se x ≥ 2

ABS(x - 2) = 2 - x

se x < 2

Detto ciò vediamo le componenti della funzione in esame:

Se x ≥ 2----> y = (x^2 - 1)/((x - 2) + 3·x)---> y = (x^2 - 1)/(2·(2·x - 1))

che costituisce parte del ramo di destra di un'iperbole non equilatera.

Se x < 2---> y = (x^2 - 1)/((2 - x) + 3·x)----> y = (x - 1)/2

che costituisce una funzione lineare sino al punto di raccordo con l'altra componente.

Tale funzione risulta essere continua sui due tratti.

Il particolare nel punto di raccordo x=2 si ha:

f(2) = (2^2 - 1)/(2·(2·2 - 1))-----> y = 1/2

come pure:

LIM((x - 1)/2) = 1/2

x-----> 2-

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Riprendo

Le intersezioni con gli assi sono di competenza del tratto lineare ( al riguardo vedi la figura in allegato).

Segno funzione

y<0 se x<1

y>0 se x>1

In particolare il tratto che prosegue con l'iperbole a partire dal punto di raccordo è crescente (tale iperbole avrebbe asintoto verticale x=1/2 che però non le compete)

La derivata prima è con riferimento alle due componenti:

y'= 1/2 pari al coefficiente angolare della prima componente (che è una retta)per x<2

y'=(x^2 - x + 1)/(2·x - 1)^2 che indica sempre una crescenza della funzione in esame.

Per quanto riguarda la derivata seconda è nulla per la prima componente mentre per la seconda:

y''= 3/(1 - 2·x)^3 indica concavità verso il basso.

Presenta un asintoto obliquo per x--->+inf (ma questo non è richiesto!)

 

 

 

 

 

La funzione
* y = f(x) = (x^2 - 1)/(|x - 2| + 3*x)
è indefinita solo in x = - 1, è priva di asintoti, ha limiti
* lim_(x → - ∞) f(x) = - ∞
* lim_(x → - 1) f(x) = - 1
* lim_(x → + ∞) f(x) = + ∞
e zeri solo in x = + 1, visto che in x = - 1 non esiste.
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Per x <= 2: f(x) = u(x) = y = (x - 1)/2
Una retta a pendenza positiva è negativa a sinistra dello zero, positiva a destra; è ovunque crescente con derivata prima pari alla pendenza e, in assenza di curvatura della retta, ha derivata seconda nulla ed è priva di "Concavità/Convessità".
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Per x > 2: f(x) = v(x) = y = (1/4)*(x^2 - 1)/(x - 1/2)
Un'iperbole centrata in (1/2, 1/4) di asintoti x = 1/2 e y = x/4 + 1/8; per x > 2 è ovunque crescente e concava in basso.