[Risolto] Chiarimento-Massimi e minimi di una funzione

La famiglia di funzioni
* f(x) = x^3 + 2*a*x^2 + x/3 + a
ha grafici Γ di equazioni
* Γ(a) ≡ y = x^3 + 2*a*x^2 + x/3 + a
con derivate
* f'(x) = 3*x^2 + 4*a*x + 1/3
* f''(x) = 6*x + 4*a
che, rispetto alla curva Γ(a), indicano:
* f'(x) la pendenza della retta tangente in T(x, f(x));
* f''(x) la concavità all'ascissa x.
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Azzerare la derivata prima individua i T con tangente parallela all'asse x
* f'(x) = 3*x^2 + 4*a*x + 1/3 = 0 ≡
≡ x = (2/3)*(- a ± √((a + 1/2)*(a - 1/2)))
cioè estremi relativi e flessi a tangente orizzontale.
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Azzerare la derivata seconda individua i punti F(x, f(x)) a curvatura nulla
* f''(x) = 6*x + 4*a = 0 ≡
≡ x = - (2/3)*a
cioè punti di flesso con tangente qualsiasi.
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Pertanto
* (f'(x) != 0) & (f''(x) != 0) ≡ (x, f(x)) è un punto ordinario
* (f'(x) != 0) & (f''(x) = 0) ≡ (x, f(x)) è un flesso con tangente obliqua
* (f'(x) = 0) & (f''(x) < 0) ≡ (x, f(x)) è un massimo relativo
* (f'(x) = 0) & (f''(x) = 0) ≡ (x, f(x)) è un flesso con tangente orizzontale
* (f'(x) = 0) & (f''(x) > 0) ≡ (x, f(x)) è un minimo relativo
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Per quali valori di a f(x) non ha né massimi né minimi?
Essendo una famiglia di polinomi f(x) è definita ovunque, quindi è priva di punti di frontiera e gli estremi assoluti, se ce n'è, sono anche relativi.
Quindi f(x) non ha né massimi né minimi se e solo se non esistano ascisse dove sia vero che
* (f'(x) = 0) & (f''(x) != 0)
e questo (dove x != - (2/3)*a viene assorbito) è proprio ciò che hai fatto tu.

Non posso darti una risposta ora perché penso sia un compito in classe. Vedrò, se mi è possibile di rispondere più tardi. Ciao.

Continuo...

La funzione in esame è una cubica quindi una funzione razionale intera di grado dispari , come tale è definita e continua su tutto l'asse dei numeri reali, risultando illimitata sia inferiormente che superiormente. Non ha quindi né massimi assoluti, né minimi assoluti. Potrebbe avere però dei massimi o minimi relativi. Affinché ciò non avvenga, non si deve annullare la derivata prima. Siccome la derivata prima è una funzione parabolica, di 2° grado, il Δ = b^2 - 4·a·c ad essa associato deve essere: Δ < 0