"Buonasera, potreste aiutarmi con la richiesta d del n. 427?"
Potrei, posso, e sto per farlo: v. infra.
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"Non ho avuto problemi nello svolgere le altre, ma arrivata a questa mi sono bloccata."
Irrilevante: non chiarisce la domanda, non facilita la risposta; a che serve?
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"Il valore di k da usare è -3."
A prima lettura sembra una frase demenziale; chi vivrà vedrà.
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"Grazie in anticipo per chi mi aiuterà!"
Ma vorrai scherzare! Sono io che ringrazio te per avermi offerto un passatempo.
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"la richiesta d del n. 427" si riferisce al risultato della "richiesta c" che a sua volta si riferisce al risultato della "richiesta a".
Tu non hai pubblicato nessuno dei due, perciò il passatempo sembra corposo.
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a) Trovare k tale che la tangente alla funzione
* f(x, k) = y = (4*x + 4)/(x^2 + k*x) = 4*(x + 1)/((x + k)*x)
di pendenza
* df/dx = m(x, k) = - (x^2 + 2*x + k)/((x + k)*x/2)^2
nel suo zero T(- 1, 0) abbia inclinazione π/4 e quindi pendenza uno.
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* m(- 1, k) = - ((- 1)^2 + 2*(- 1) + k)/((- 1 + k)*(- 1)/2)^2 = 1 ≡
≡ k = - 3
E CIO' RENDE CONTO DELLA FRASE DEMENZIALE: hai scritto un nome per l'altro!
Si ha
* f(x) = y = 4*(x + 1)/((x - 3)*x)
* m(x) = 4*(x + 3)*(1 - x)/((x - 3)*x)^2
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c) Trovare t tale che il sistema
* (y = t) & (y = 4*(x + 1)/((x - 3)*x))
abbia due intersezioni (A, B) reali, determinare (A, B) e il punto M medio fra esse.
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Per t = 0: c'è solo l'intersezione reale semplice (- 1, 0).
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Per t != 0: ce ne sono due.
* (y = 4*(x + 1)/((x - 3)*x)) & (y = t != 0) ≡
≡ (x = (3*t + 4 ± 3*√((t + 4)*(t + 4/9)))/(2*t)) & (y = t)
da cui le intersezioni
* A((3*t + 4 - 3*√((t + 4)*(t + 4/9)))/(2*t), t)
* B((3*t + 4 + 3*√((t + 4)*(t + 4/9)))/(2*t), t)
che sono reali per
* (t + 4)*(t + 4/9) >= 0 ≡
≡ (t <= - 4) oppure (t >= - 4/9)
e il punto medio
* M((3*t + 4)/(2*t), t)
che è reale per ogni t non nullo.
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d) l'equazione del luogo degli M si ricava eliminando il parametro dalle coordinate
* (x = (3*t + 4)/(2*t)) & (y = t) ≡
≡ t = y = 4/(2*x - 3)
che rappresenta l'iperbole equilatera di asintoti
* x = 3/2
* y = 0
http://www.wolframalpha.com/input?i=plane+curve+y*%282*x-3%29%3D4
