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[Risolto] Scomposizione polinomio

  

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Ciaaao a tutti, dovrei scomporre questo polinomio: $x^4+3x-2$.

Ho provato con Ruffini e giocherellando un po' con i numeri. Penso possa essere scomposto riscrivendolo in una forma equivalente ed utilizzando il raccoglimento parziale, ma non ci sono riuscito. Non sono ancora molto capace con questo metodo. 😓 🧐 

Grazie per l'aiuto 🖐️ 

Autore

nb: in realtà dovrei risolvere la seguente disequazione: $x^4+3x-2\ge 0$.
Non so se sia importante saperlo o meno, d'altronde per risolverla prima devo pur sempre scomporre. Per correttezza lo scrivo, magari vi è un procedimento diverso😊 

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x^4 + 3x - 2

per x = 1     1 + 3 - 2 = 0 ? no

per x = -1    1 - 3 - 2 = 0 ? no

per x = 2     16 + 6 - 2 = 0 ? no

per x = -2    16 - 6 - 2 = 0 ?  no

 

essendo il polinomio monico, la Regola di Ruffini non funziona e non ci sono radici razionali

 

Proviamo a immaginare che sia così

 

x^4 + 3x - 2 = ( x^2 + bx + 2 ) ( x^2 + cx - 1 )

x^4 + cx^3 - cx^2 + bx^3 + bcx^2 - bx + 2x^2 + 2cx - 2

 

per il principio di indentità dei polinomi

 

c + b = 0

- c + bc + 2 = 0

2c - b = 3

 

 

b = - c

2c + c = 3

c = 1

 

b = -1

 

Prova     -1 -1 + 2 = 0

 

E quindi puoi scomporre come (x^2 - x + 2 ) (x^2 + x - 1 )

e da qui puoi proseguire facilmente.

 

 

@eidosm Non ho capito 😆 

x^4 + 3x - 2 = ( x^2 + bx + 2 ) ( x^2 + cx - 1 )

x^4 + cx^3 - cx^2 + bx^3 + bcx^2 - bx + 2x^2 + 2cx - 2

 

Cosa hai fatto nella seconda espressione? Hai reso possibile il raccoglimento scrivendo i gradi mancanti? Mi sembra abbastanza complesso da fare ☹️ 

Ho immaginato il modo più generale in cui potrebbe essere scomposto in due trinomi monici. Questo non garantisce il risultato. Se non avessimo avuto successo, avremmo dovuto tentare coi segni dei termini noti scambiati e, in mancanza, usare metodi superiori oppure Octave Online. Probabilmente sarebbe inutile spiegare che ciò che conferisce un senso alla possibilità di tentare metodi superiori è il fatto che il termine noto è negativo mentre il primo coefficiente è positivo per cui la pur non scontata esistenza di due radici reali è garantita.

@eidosm Grazie 👍 



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