[Risolto] Risoluzione integrale definito di una funzione fratta

Allora per prima cosa poniamo t=radice(x+1) che quindi significa t²=x-1 e di conseguenza x=t²-1

Quindi sappiamo che dx=2t dt

Sostituendo l'integrale diventa t/(t²-1) *2t dt che quindi scriviamo come 2t²/(t²-1) dt

Al numeratore aggiungiamo e togliamo 2:

(2t² +2 - 2)/(t²-1) dt

Perché in questo modo possiamo dividere l'integrale in due frazioni:

1) (2t²-2)/(t²-1)

2) +2/(t²-1)

La prima frazione è semplificabile, infatti 2t²-2=2(t²-1). Quindi la prima frazione è uguale 2.

L'integrale allora diventa 2 + 2/(t²-1) dt

La seconda frazione va divisa con il metodo delle frazioni parziali:

Per prima cosa si scompone il denominatore, infatti t²-1 = (t+1)(t-1)

Poi si divide la frazione di partenza in due frazioni, in questo modo:

2/(t²-1)= A/(t+1)  +   B/(t-1)

Il nostro obiettivo adesso è trovare A e B

Moltiplichiamo tutto per (t²-1) ed otteniamo

2= A(t-1)  +  B(t+1)

Cioè 

2= At - A +Bt + B

2= t(A+B) + (B-A)

Siccome i due membri dell'equazione si dicono identici, possiamo creare un sistema di due equazioni dove eguagliato i coefficienti di t e del termine noto:

1) 0= A+B   (sono i coefficienti della t)

2) 2= B-A     (sono i termini noti)

La soluzione di questo piccolo sistema è 

A=-1 e B=1

Allora abbiamo trovato che:

2/(t²-1) =  -1/(t+1)  + 1/(t-1)

Il nostro integrale è allora:

+2 - 1/(t+1)  + 1/(t-1) dt

Sono pezzi molto facili da integrare ed il loro risultato è 

2t - ln(t+1) + ln(t-1)

Siccome l'integrale è definito dobbiamo anche trovare gli estremi di integrazione:

Se x vale 1 allora t=radice(2)

Se x vale 8 allora t=3

(proprio perché t=radice(x+1))

Qui ti basta sostituire prima il 3 e poi la radice di 2 ed il gioco è fatto! 

Ciao!

Ti invio il foglio con i calcoli, come da te richiesto.

Scrivo un po' male, se non capisci qualcosa dimmi pure.🤣