[Risolto] Scomposizione equazione

 il testo è corretto, dopo aver scomposto come differenza di quadrati gli ultimi due termini, devi raccogliere parzialmente tra i primi due e poi procedere a un raccoglimento totale per poter applicare l'annullamento del prodotto. 

SOLUZIONE

$x^{14}-2x^{8}-(x^{3}+\sqrt{2})\cdot(x^{3}-\sqrt{2})=0$

$x^{14}-2x^{8}-(x^{6}-2)=0$

$x^{14}-2x^{8}-x^{6}+2=0$

$x^{8}\cdot(x^{6}-2)-(x^{6}-2)=0$

$(x^{6}-2)\cdot(x^{8}-1)=0$

$x^{6}-2=0\wedge{x}^{8}-1=0$

$x=-{\sqrt[6]{2}}\wedge{x}=\sqrt[6]{2}\wedge{x}=-1\wedge{x}=1$

SPIEGAZIONE

• semplifica il prodotto
• rimuovi le parentesi e cambia i segni
• fattorizza
• applica la legge di annullamento del prodotto
• trova le soluzioni

Se metti in evidenza la massima potenza di x fra i primi due termini e sviluppi il terzo termine ottieni
* (x^6 - 2)*x^8 - (x^6 - 2) = 0
da cui, mettendo in evidenza "x^6 - 2", si fattorizza il primo membro
* (x^6 - 2)*(x^8 - 1) = 0
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La legge d'annullamento del prodotto
* (x^6 - 2)*(x^8 - 1) = 0 ≡ (x^6 = 2) oppure (x^8 = 1)
consente d'esprimere le quattordici radici dell'equazione data come unione fra le sei radici seste di due (due delle quali reali, ± 2^(1/6), perché l'indice sei è pari) e le otto radici ottave di uno (due delle quali reali, ± 1, perché l'indice otto è pari).
Vedi il paragrafo "Roots in the complex plane" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%5E6-2%29*%28x%5E8-1%29%3D0