Notifiche
Cancella tutti

[Risolto] Scomposizione equazione  

  

3

Ciao a tutti, mi son imbattuto in questa equazione: $x^{14}-2x^8-\left(x^3+\sqrt{2}\right)\left(x^3-\sqrt{2}\right)=0$.

Sfruttando somma per differenza si avrà: $x^{14}-2x^8-x^6+2=0$. Da qui non riesco più a procedere e non ho idea di come scomporla! 😲
E' possibile utilizzare Ruffini con radice razionale $1$ ma verrebbero una sfilza di termini tutti di grado diverso e mi sembra molto improbabile come metodo di risoluzione. 

Le soluzioni dell'equazione sono $x_{1,2}=\:\pm \sqrt[6]{2},\:x_{3,4}=\:\pm 1$.

E' anche una delle prime equazioni quindi dovrebbe essere semplice eppure non riesco a vedere niente. 😓 

 

 

L'unica idea che mi viene in mente è che il testo possa essere sbagliato!  🙄 

Aspetto però qualche risposta di qualcuno più esperto di me 😊 

Etichette discussione
3 Risposte
4
149a1ad1 6192 4c8a a4ca 1cb961489d08

 il testo è corretto, dopo aver scomposto come differenza di quadrati gli ultimi due termini, devi raccogliere parzialmente tra i primi due e poi procedere a un raccoglimento totale per poter applicare l'annullamento del prodotto. 

@anguus90 sto morendo dalle risate, certo che sono proprio un pollo! 😆 

Non so perché ho questa concezione errata, inculcatami da qualche parte, che il raccoglimento parziale debba per forza coinvolgere TUTTI i termini. In questa equazione difatti ho provato a raccogliere 2 a 2 coinvolgendo tutti i termini ma nessun raccoglimento funzionava. Bastava semplicemente raccogliere prendendo in considerazione due termini e basta... Forse dopo questa me lo ricorderò per i giorni a venire! 😆 

Grazie mille. 

4

SOLUZIONE

$x^{14}-2x^{8}-(x^{3}+\sqrt{2})\cdot(x^{3}-\sqrt{2})=0$

$x^{14}-2x^{8}-(x^{6}-2)=0$

$x^{14}-2x^{8}-x^{6}+2=0$

$x^{8}\cdot(x^{6}-2)-(x^{6}-2)=0$

$(x^{6}-2)\cdot(x^{8}-1)=0$

$x^{6}-2=0\wedge{x}^{8}-1=0$

$x=-{\sqrt[6]{2}}\wedge{x}=\sqrt[6]{2}\wedge{x}=-1\wedge{x}=1$

SPIEGAZIONE

  • semplifica il prodotto
  • rimuovi le parentesi e cambia i segni
  • fattorizza
  • applica la legge di annullamento del prodotto
  • trova le soluzioni

 

@US Grazie mille. Sono un pollo e non ho provato a raccogliere un singolo termine in una singola coppia😆 

@ILoveYou Prego!

Non ti preoccupare, capita 😄

2

Se metti in evidenza la massima potenza di x fra i primi due termini e sviluppi il terzo termine ottieni
* (x^6 - 2)*x^8 - (x^6 - 2) = 0
da cui, mettendo in evidenza "x^6 - 2", si fattorizza il primo membro
* (x^6 - 2)*(x^8 - 1) = 0
------------------------------
La legge d'annullamento del prodotto
* (x^6 - 2)*(x^8 - 1) = 0 ≡ (x^6 = 2) oppure (x^8 = 1)
consente d'esprimere le quattordici radici dell'equazione data come unione fra le sei radici seste di due (due delle quali reali, ± 2^(1/6), perché l'indice sei è pari) e le otto radici ottave di uno (due delle quali reali, ± 1, perché l'indice otto è pari).
Vedi il paragrafo "Roots in the complex plane" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%5E6-2%29*%28x%5E8-1%29%3D0

 

 +10

Iscriviti su SosMatematica.it e ricevi 10 gemme oggi stesso.

+10

Iscriviti su SosMatematica.it e ricevi 10 gemme oggi stesso.

Seguici su:

© 2019-2020 Tutti i diritti riservati