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[Risolto] Problemi nel costruire un fascio di coniche assegnato un asse e un fuoco non appartenente all'asse.  

  

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Fissato in $E_{2}$ un riferimento cartesiano $\mathcal{R}=(O, \mathcal{B}),$ si determinino equazioni delle coniche $\gamma_{1}$ e $\gamma_{2},$ in $E_{2} \cup i_{\infty},$ aventi il punto $F(1,1)$ come fuoco, la retta $a: x-y+2=0$ come asse, e tali che i punti $A(1,0)$ e $B(0,1)$ siano coniugati rispetto ad esse.

Si verifichi che una delle due coniche è un'iperbole e se ne determinino gli asintoti, i vertici ed il secondo fuoco.

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1 Risposta
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Il procedimento è piuttosto lungo, non credo di avere tempo per scriverlo in dettaglio. una delle due coniche è spezzata ed ha equazione:

$x^2+y^2+4xy-8x-4y+4=0$

mentre la seconda è come richiesto un'iperbole di equazione:

$2xy-4x+1=0$

Se mi dici dove hai trovato difficoltà posso aiutarti 🙂

in caso ti possa essere utile, guarda la figura qui sotto.

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Per la seconda conica, dall'equazione:

$(2a_{11}+1)x_1+(2a_{11}+1)x_2+(2a_{13}+2)x_3=0$ ho diviso per $(2a_{11}+1)$ e quindi ho ottenuto:

$x_1+x_2+\frac{(2a_{13}+2)}{(2a_{11}+1)}x_3=0$

quindi ho risolto imponendo che 

$x_1+x_2+\frac{(2a_{13}+2)}{(2a_{11}+1)}x_3=x_1+x_2-2x_3$

e quindi

$\frac{(2a_{13}+2)}{(2a_{11}+1)}=-2$

svolgendo i conti si giunge alla conica spezzata menzionata all'inizio

@sebastiano, grazie mille!! Sei stato esaustivo e preciso, oltre che gentile!

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