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[Risolto] disequazione logaritmica  

  

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mi potete spiegare per favore come si risolve questa:  log(x^2+4x-20)<0  ?

4 Risposte
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prima di tutto le condizioni di esistenza, infatti l'argomento del logaritmo deve sempre essere positivo:

C.E.  $x^2 +4x -20 >0 $

questa è una disequazione di secondo grado che ti dà due soluzioni:

$x>-2 + 2\sqrt{6}(6)$   $v$   $x<-2 - 2\sqrt{6}$ 

ora che sappiamo le condizioni d'esistenza possiamo lavorare tranquilli.

se il logaritmo deve essere negativo (cioè minore di zero), allora il suo argomento deve essere minore di 1.

infatti per togliere il logaritmo bisogna mettere l'esponenziale dall'altra parte, e sappiamo che

$e^0 =1$

 

abbiamo quindi: $x^2 +4x -20 <1$   cioè  $x^2 +4x -21<0$

la soluzione di quest'altra disequazione è    $-7<x<3 $

ora devi mettere sulla stessa tabella la soluzione e le C.E. perché non tutto potrebbe essere accettabile! 

ottieni che gli intervalli in comune tra queste due condizioni sono solo una parte del tutto:

infatti $-2 - 2\sqrt{6}$ vale circa $-6,9$, mentre $-2 + 2\sqrt{6}$ vale circa $2,89$

 

CamScanner 06 29 2020 16.21.17

 

 

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La prima domanda che ti devi porre è:

"quando è che un logaritmo fornisce un risultato <0?"

La risposta è: "quando l'argomento del logaritmo è compreso fra 0 e 1".

Quindi deve essere che:

$x^2+4x-20>0$ affinchè il logaritmo sia definito e

$x^2+4x-20<1$ affinchè il risultato sia <0.

 

@sebastiano deve essere un sistema quindi, no ?

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Non scrivere la base vuol dire logaritmo naturale (per alcuni decimale, ma non nei libri d'Analisi): comunque in base "b" maggiore di uno.
La diseguaglianza d'ordine impone che i due membri siano reali, cioè che l'argomento del logaritmo sia positivo.
Poi il fatto che il logaritmo di un valore positivo in base maggiore di uno sia negativo implica che l'argomento sia minore di uno.
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Quanto sopra conduce alla seguente procedura risolutiva.
* log(b, x^2 + 4*x - 20) < 0 ≡
≡ (x^2 + 4*x - 20 > 0) & (x^2 + 4*x - 20 < 1) ≡
≡ ((x < 2*(- 1 - √6)) oppure (x > 2*(- 1 + √6))) & (x^2 + 4*x - 21 < 0) ≡
≡ ((x < 2*(- 1 - √6)) oppure (x > 2*(- 1 + √6))) & (- 7 < x < 3) ≡
≡ (x < 2*(- 1 - √6)) & (- 7 < x < 3) oppure (x > 2*(- 1 + √6)) & (- 7 < x < 3) ≡
≡ (- 7 < x < 2*(- 1 - √6)) oppure (2*(- 1 + √6) < x < 3)

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