1)
al numeratore puoi raccogliere la x così ottieni log[x(1+x)]
usando le proprietà dei logaritmi scrivi che log[x(1+x)] = log(x) + log(1+x)
sapendo che tutto è diviso per log(x) ottieni che:
[log(x) + log(1+x)]/log(x) = 1 + log(1+x)/log(x) (ho diviso il numeratore in due)
siccome la x tende a 0, sappiamo che log(1+x)/log(x) è della forma [0/-infinito] che NON è indeterminata: infatti un numero piccolo diviso per un numero enorme, da come risultato un numero ancora più piccolo.
quindi il limite di quella frazione tende a zero, e di conseguenza tutto il limite tende ad 1.
2)
ti consiglio di raccogliere un log(x) al numeratore, ovvero riscrivere l'argomento del logaritmo:
x + log(x) = log(x)*(x/log(x) + 1)
in questo modo puoi spezzare il logaritmo e lo scrivi come log(logx) + log(x/log(x) + 1)
ora nota subito che se x tende a zero tutto il secondo pezzo vale zero: infatti x/log(x) è della forma [0/-infinito] come prima e quindi rimarrebbe log(1) che vale zero
tutto il limite si riduce quindi a lim x-->0 log(logx)/log(x) , che è una forma indeterminata.
ora introduciamo la variabile y definita come y=log(x) in modo che se x tende a 0, y tende a - inf.
il limite è quindi log(y)/y per y-->-inf.
in questo caso bisogna usare la gerarchia degli infiniti, infatti sappiamo che le funzioni polinomiali (y) hanno "grado" maggiore rispetto a quelle logaritmiche e di conseguenza raggiungono prima l'infinito.
è come se il limite avesse un infinito al denominatore perchè la y è di grado maggiore e quindi tutto il limite va a 0 .
NB: il dominio del logaritmo di solito viene posto come x>0 ma in questo caso non è stata rispettata questa regola perchè si è fatto riferimento anche ai valori complessi (immaginari) di x: di fatto è un limite molto difficile da intuire se non si usa l'hopital!
