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[Risolto] Risoluzione limiti senza De L'Hopital  

  

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Ciao a tutti!Potre ste darmi un aiuto con questi limiti?Gentilmente se potete,cercate di esplicitare tutti i passaggi.Grazie!

lim x-->0+  [log(x+x^2)]/logx

lim x->0  log(x+logx)/logx

Per il primo limite ho pensato di raccogliere la x al numeratore in modo tale da ottenere (1+x) e poi ho spostato la x che ho raccolto come esponente di (1+x)^1/x perchè volevo ricondurre il tutto al limite notevole che è uguale ad "e". log e è uguale ad 1.Il problema è che non so come uscirmene al denominatore.Forse dovevo dividere e moltiplicare numeratore e denominatore per x?

1 Risposta
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1) 

al numeratore puoi raccogliere la x così ottieni log[x(1+x)]

usando le proprietà dei logaritmi scrivi che log[x(1+x)] = log(x) + log(1+x) 

sapendo che tutto è diviso per log(x) ottieni che:

[log(x) + log(1+x)]/log(x) = 1 + log(1+x)/log(x)    (ho diviso il numeratore in due) 

siccome la x tende a 0, sappiamo che log(1+x)/log(x) è della forma [0/-infinito] che NON è indeterminata: infatti un numero piccolo diviso per un numero enorme, da come risultato un numero ancora più piccolo.

quindi il limite di quella frazione tende a zero, e di conseguenza tutto il limite tende ad 1.

 

2)

ti consiglio di raccogliere un log(x) al numeratore, ovvero riscrivere l'argomento del logaritmo:

x + log(x) = log(x)*(x/log(x) + 1) 

in questo modo puoi spezzare il logaritmo e lo scrivi come log(logx) + log(x/log(x) + 1)

ora nota subito che se x tende a zero tutto il secondo pezzo vale zero: infatti x/log(x) è della forma [0/-infinito] come prima e quindi rimarrebbe log(1) che vale zero

tutto il limite si riduce quindi a lim x-->0  log(logx)/log(x) , che è una forma indeterminata.

ora introduciamo la variabile y definita come y=log(x) in modo che se x tende a 0, y tende a - inf.

il limite è quindi log(y)/y per y-->-inf.

in questo caso bisogna usare la gerarchia degli infiniti, infatti sappiamo che le funzioni polinomiali (y) hanno "grado" maggiore rispetto a quelle logaritmiche e di conseguenza raggiungono prima l'infinito.

è come se il limite avesse un infinito al denominatore perchè la y è di grado maggiore e quindi tutto il limite va a 0 .

NB: il dominio del logaritmo di solito viene posto come x>0 ma in questo caso non è stata rispettata questa regola perchè si è fatto riferimento anche ai valori complessi (immaginari) di x: di fatto è un limite molto difficile da intuire se non si usa l'hopital!

 

@andreap,grazie mille per la spiegazione.Sei stato chiarissimo.

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