[Risolto] salve mi potete aiutare ?

@mariobassi

Essendo la funzione f(x) = 6x - 2x² > g(x) = x² - 3x sempre nell'intervallo di estremi [0,3] possiamo calcolare l'area colorata come:

Le due parabole :

y = x^2 - 3·x   ;  y = 6·x - 2·x^2

si possono scrivere anche nel seguente modo:

y = x·(x - 3)   ; y = 2·x·(3 - x)

in cui si riconoscono le intersezioni con gli assi nei punti (0,0) e (3,0) comuni alle due parabole come pure comune l'asse verticale di simmetria x=3/2.

A questo punto per determinare l'area richiesta puoi procedere attraverso:

calcolo integrale (che presumo non lo hai ancora fatto)

oppure sapendo che ognuna delle due parabole occupa un'area pari a 2/3 di quella dei due rettangoli. 

Base pari a = 3

ordinata vertici parabole=

y = (3/2)^2 - 3·(3/2)------> y = - 9/4

y = 6·(3/2) - 2·(3/2)^2-------> y = 9/2

Quindi altezza rettangolo=9/2 + 9/4 = 27/4

Area rettangolo=3·27/4 = 81/4

2/3·81/4 = 27/2 = area richiesta

Vedo la pagina di un libro di terza, che riconosco come uno Zanichelli ...

Solo per questo eviterei gli integrali

I punti di intersezione sono le soluzioni di

x^2 - 3x = 6x - 2x^2

x^2 + 2x^2 - 3x - 6x = 0

3x^2 - 9x = 0

3x (x - 3) = 0

x = 0 V x = 3

I vertici delle due parabole hanno coordinate

xV1 = - b/(2a) = 3/2

yV1 = 9/4 - 9/2 = -9/4

e quindi h1 = |yV1| = 9/4

xV2 = -6/(-4) = 3/2

yV2 = 6*3/2 - 2*9/4 = 9 - 9/2 = 9/2

h2 = |yV2| = 9/2

e per il Teorema di Archimede

S = S1 + S2 = 2/3 b * h1 + 2/3 b * h2 =

= 2/3 * 3 * (9/4 + 9/2) = 2*27/4 = 27/2

La figura mostra due segmenti parabolici retti con la stessa corda di base delimitata dagli zeri comuni alle due parabole.
Già Archimede, ai tempi suoi, mostrò che l'area del segmento parabolico vale quattro terzi di quella del triangolo con la stezza base e il terzo vertice nel punto di tangenza della parallela alla corda base; nel caso di figura pertanto l'area S della zona colorata è due terzi di quella del rettangolo che ha per base b la corda di base dei segmenti e per altezza h la distanza fra i vertici della parabola.
Quindi i calcoli da fare sono come segue.
------------------------------
A) Scrivere le varie forme delle parabole da cui leggere le posizioni dei vertici e degli zeri (e verificare che questi coincidano, come in figura).
---------------
A1) y = x^2 - 3*x = x*(x - 3) = (x - 3/2)^2 - 9/4
* zeri: (x = 0) oppure (x = 3)
* vertice: V1(3/2, - 9/4)
---------------
A2) y = 6*x - 2*x^2 = - 2*x*(x - 3) = 9/2 - 2*(x - 3/2)^2
* zeri: (x = 0) oppure (x = 3)
* vertice: V2(3/2, 9/2)
------------------------------
B) Eseguire le due sottrazioni e le due moltiplicazioni necessarie.
* b = 3 - 0 = 3
* h = 9/2 - (- 9/4) = 27/4
* S = (2/3)*b*h = (2/3)*3*27/4 = 27/2
che è proprio il risultato atteso.