[Risolto] Ellisse eccentricità coordinate fuochi e equazione retta tangente

Ciao di nuovo.

9·x^2 + 4·y^2 + 36·x - 16·y + 16 = 0

riportiamo l'ellisse alla forma canonica:

9·(x + 2)^2 + 4·(y - 2)^2 - 36 = 0

(il termine noto si ottiene da: 16 - 9·4 - 16 = -36)

quindi:

(9·(x + 2)^2 + 4·(y - 2)^2 - 36 = 0)/36

(x + 2)^2/4 + (y - 2)^2/9 = 1

Quindi centro dell'ellisse: C(-2,2)

essendo poi: 

a^2=4< b^2=9

l'ellisse è allungata nella direzione y, avente vertici:

(-2,-1); (-2,5) : ascissa del centro ed ordinata pari a 2+/-3 

(0,2); (-4,2) : ordinata del centro ed ascissa pari a -2+/-2

I fuochi stanno nella direzione y, quindi ascissa del centro-2 ed ordinate pari a

2 ± √(9 - 4) quindi:

(-2; 2 - √5); (-2; 2 + √5)

eccentricità =e =|c/b| = √5/3

Equazione retta tangente in x=-2 e di minor ordinata significa (-2,-1) cioè in corrispondenza di un suo vertice

quindi y=-1 è la retta tangente

Ciao. 

Non mi trovo con la nomenclatura.
Fra le tante "forme normali" i miei libri anni 50 dicevano "forma normale canonica" quella con uno zero a secondo membro e se, come in questo caso, il primo membro è un polinomio allora dev'essere ridotto.
L'equazione
* Γ ≡ 9*x^2 + 4*y^2 + 36*x - 16*y + 16 = 0
per me è già in "forma normale canonica"!
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Perciò la consegna "Scrivi ... nella forma canonica" non credo che si riferisca alle forme esplicite con i loro doppi segni; quasi certamente, stante la mancanza del termine rettangolare, si riferisce alla "forma normale standard", col secondo membro che ha solo il termine noto; per le coniche a centro non degeneri il termine noto è ridotto a uno.
Se non è così puoi anche smettere di leggere; se però ci ho preso allora la trasformazione si fa per completamento di quadrati.
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* Γ ≡ 9*x^2 + 4*y^2 + 36*x - 16*y + 16 = 0 ≡
≡ 9*(x^2 + 4*x) + 4*(y^2 - 4*y) + 16 = 0 ≡
≡ 9*((x + 2)^2 - 2^2) + 4*((y - 2)^2 - 2^2) + 16 = 0 ≡
≡ 9*(x + 2)^2 - 9*2^2 + 4*(y - 2)^2 - 4*2^2 + 16 = 0 ≡
≡ 9*(x + 2)^2 + 4*(y - 2)^2 = 36 ≡
≡ (x + 2)^2/(36/9) + (y - 2)^2/(36/4) = 1 ≡
≡ ((x + 2)/2)^2 + ((y - 2)/3)^2 = 1
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Da tale "forma normale standard" si ricavano le proprietà geometriche
* centro C(- 2, 2)
* assi di simmetria sulle rette x = - 2 ed y = 2
* semiasse minore a = 2
* semiasse maggiore b = 3
* semidistanza focale c = √(b^2 - a^2) = √5
* eccentricità e = c/b = √5/3
* fuochi F(- 2, 2 ± √5)
* vertici V(- 2, 2 ± 3) sull'asse maggiore
* vertici V(- 2 ± 2, 2) sull'asse minore
che rispondono alle prime consegne.
Per l'ultima consegna si deve notare che:
* alla "ascissa -2" ci sono centro, fuochi e vertici V(- 2, 2 ± 3);
* alla "minore ordinata" di quell'ascissa c'è il vertice V(- 2, - 1);
* la tangente nel vertice di un asse è parallela all'altro asse;
quindi la retta richiesta è
* t ≡ y = - 1
che passa per V(- 2, - 1) ed è parallela all'asse sulla y = 2.