Trova l’equazione dell’iperbole con i fuochi sull’asse y che é tangente alla retta di equazione x-2rad3y+4=0 nel suo punto di coordinate (2;rad3). Chiedo nuovamente un aiuto 🙂
Trova l’equazione dell’iperbole con i fuochi sull’asse y che é tangente alla retta di equazione x-2rad3y+4=0 nel suo punto di coordinate (2;rad3). Chiedo nuovamente un aiuto 🙂
Verifico che la retta assegnata passi per il punto dato.
x - 2·√3·y + 4 = 0------>[2, √3]------->2 - 2·√3·√3 + 4 = 0----->0 = 0 OK!
Da tale punto deve passare l'iperbole:
x^2/α - y^2/β = -1 dove ho posto per semplicità: α = x^2 ∧ β = y^2
Quindi abbiamo:
2^2/α - √3^2/β = -1--------> 4/α - 3/β = -1----->α = 4·β/(3 - β)
Quindi metto a sistema l'iperbole e la retta:
{x^2/(4·β/(3 - β)) - y^2/β = -1
{x - 2·√3·y + 4 = 0
che risolvo per sostituzione: x = 2·√3·y - 4
(2·√3·y - 4)^2/(4·β/(3 - β)) - y^2/β = -1
(3 - β)·(√3·y - 2)^2/β - y^2/β = -1
- (y^2·(3·β - 8) + 4·√3·y·(3 - β) + 4·(β - 3))/β = -1
y^2·(3·β - 8) + y·(12·√3 - 4·√3·β) + (3·β - 12) = 0
Impongo la condizione di tangenza:
Δ = 0
(12·√3 - 4·√3·β)^2 - 4·(3·β - 8)·(3·β - 12) = 0
(48·β^2 - 288·β + 432) - (36·β^2 - 240·β + 384) = 0
12·β^2 - 48·β + 48 = 0
β^2 - 4·β + 4 = 0--------> (β - 2)^2 = 0------->β = 2
α = 4·2/(3 - 2)------>α = 8
quindi equazione iperbole:
x^2/8 - y^2/2 = -1