Ramo di iperbole

y = √(a·x^2 + b)

(y = √(a·x^2 + b))^2

y^2 = a·x^2 + b

a·x^2 - y^2 = -b

(a·x^2 - y^2 = -b)/b con b ≠ 0

a·x^2/b - y^2/b = -1

passa per [0, 4]

a·0^2/b - 4^2/b = -1

- 16/b = -1

b = 16

a·x^2/16 - y^2/16 = -1

asintoto: y = √2·x

√(16/(16/a)) = √2

√a = √2------> a = 2

"Vertice (0, 4)" vuol dire equazione riducibile alla forma
* Γ ≡ (x/a)^2 - ((y - β)/b)^2 = - 1
con
* centro C(0, β)
* semiassi a > 0, b = |4 - β| > 0
* asintoti y = β ± (b/a)*x
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"asintoto y = (√2)*x" vuol dire
* β = 0
* C(0, 0)
* b = |4 - β| = 4
* b/a = √2 ≡ a = b/√2 = 2*√2
* Γ ≡ (x/(2*√2))^2 - (y/4)^2 = - 1 ≡ x^2/8 - y^2/16 = - 1
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NB: questi (a, b) non sono i semiassi, ma i parametri da determinare.
* y = √(a*x^2 + b) ≡ (y^2 = a*x^2 + b) & (y > 0)
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"trovare come a possa essere 2"
* y^2 = a*x^2 + b ≡
≡ a*x^2 - y^2 = - b ≡
≡ x^2/(b/a) - y^2/b = - 1 ≡
≡ x^2/8 - y^2/16 = - 1
quindi
* (b/a = 8) & (b = 16) ≡ (a = 2) & (b = 16)
QED
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* y = √(2*x^2 + 16)
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y*%282*x%5E2-y%5E2%29%3D0%2Cy%3D%E2%88%9A%282*x%5E2--16%29%5D

4 = rad(a*0 + b)

b = 4^2 = 16

( condizione di appartenenza del vertice )

Riporto dell'equazione a forma canonica :

y^2 = ax^2 + b

ax^2 - y^2 = - b

x^2/(b/a) - y^2/b = -1

A^2 = b/a e B^2 = b

Deve quindi essere B/A = rad(2)

B^2/A^2 = 2

b/(b/a) = a = 2

y = rad(2x^2 + 16)