Radicale doppio

Question

Ciao a tutti, sto cercando di risolvere l'equazione $\sqrt{2}x^2-\left(2\sqrt{2}+1\right)x+2=0$

Portandola alla forma base dovrebbe venire $\sqrt{2}x^2-3\sqrt{2}x+2=0$ e calcolando il discriminante viene purtroppo $9-4\sqrt{2}$.
Applicando la formula risolutiva completa viene questo mostriciattolo ciccione: $\displaystyle\frac{+3\sqrt{2}\pm \:\sqrt{9-4\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}}$
La domanda è, vi è modo di scavalcare questo radicale doppio senza utilizzare la formula risolutiva che non ho ancora imparato? (L'ho sempre ritenuto un argomento di "nicchia" ma a quanto pare più tento di scappare, più esso ritorna e mi perseguita ?)

In generale, vi è modo alternativo di risolvere un radicale doppio senza quelle formule o devo impararle per forza perché ricorrono e sono davvero utili? ?

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ILoveYou

(@iloveyou)

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19/05/2020 18:06

exProf · Accepted Answer

La tua domanda è un po' confusa, ma si capisce bene che il titolo è fuori tema.
Il vero tema è come trattare l'equazione quadratica con coefficienti irrazionali.
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Dividere membro a membro per il coefficiente direttore.
Effettuare le operazioni sui radicali.
Applicare un minimo di buona volontà nel riconoscere somma e prodotto delle radici.
* (√2)*x^2 - (2*√2 + 1)*x + 2 = 0 ≡
≡ x^2 - ((2*√2 + 1)/√2)*x + 2/√2 = 0 ≡
≡ x^2 - (2 + 1/√2)*x + √2 = 0 ≡
≡ x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2) = 0
------------------------------
BUONA VOLONTA'
Quali potranno mai essere due valori tali da avere
* X1 + X2 = s = 2 + 1/√2 (somma)
* X1 * X2 = p = √2 (prodotto)?
Io, così ad occhio, suggerirei di provare con
* X1 = 1/√2
* X2 = 2
che soddisfanno alle condizioni e quindi identificano l'unica scomposizione
* (√2)*x^2 - (2*√2 + 1)*x + 2 = (√2)*(x - 1/√2)*(x - 2) = 0
------------------------------
ALTERNATIVAMENTE
* discriminante Δ = s^2 − 4*p = (2 + 1/√2)^2 − 4*√2 = 9/2 - 2*√2
* √Δ = √(9/2 - 2*√2) = 2 - 1/√2
* X1 = (s - √Δ)/2 = (2 + 1/√2 - (2 - 1/√2))/2 = 1/√2
* X2 = (s + √Δ)/2 = (2 + 1/√2 + (2 - 1/√2))/2 = 2

exProf

(@exprof)

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19/05/2020 20:33

EidosM · Answer

Se riguardi con attenzione il discriminante, esso è ( 3 rad (2) )^2 - 4 * 2 rad(2) =

= 18 - 8 rad(2) e puoi evitare la FORMULA DEI RADICALI DOPPI se sai vederlo come

quadrato di binomio : 16 - 2* 4 rad(2) + 2 = (4 - rad(2))^2

x = [( 3 rad(2) +- ( 4 - rad(2))] /(2 rad(2)) e da qui sai proseguire

Oppure puoi scomporre per raccoglimento parziale

rad(2) x^2 - 2 rad(2) x - x + 2 = 0

rad(2) x ( x - 2) - (x - 2) = 0

(x - 2) ( rad(2) x + 1 ) = 0

x = 2 V x = - 1/rad(2)

EidosM

(@eidosm)

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19/05/2020 18:35

[Risolto] Radicale doppio

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