mi servirebbe davvero aiuto per questo problema, vi ringrazio :’)
In un trapezio ABCD, la base maggiore AB è il triplo della base minore CD. Siano E ed F, rispettivamente, i punti in cui il segmento che congiunge i punti medi dei lati obliqui del trapezio incontra la diagonale AC e la diagonale BD. Dimostra che EFCD è un parallelogramma. VI RINGRAZIO INFINITAMENTE
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La situazione geometrica è la seguente:
Ho indicato con $x$ la base minore $CD$ e con $3x$ la base maggiore $AB$. Se dimostriamo che $EF$ è esattamente lungo $x$ abbiamo dimostrato il problema.
Considera i triangoli $ACD$ e $AEM_1$: essi sono simili in quanto il segmento $EM_1$ è parallelo a $CD$. ma sappiamo anche il rapporto di similitudine, in quanto $M_1$ è punto medio di $AD$, quindi $AM_1$ è la metà di $AD$. Se ne conclude che il rapporto di similitudine è 2, quindi anche $EM_1$ è la metà di $CD$. Quindi possiamo dire che $EM_1=x/2$.
Lo stesso identico ragionamento lo puoi fare per i triangoli $BCD$ e $BFM_2$, quindi anche $FM_2=x/2$
Poichè poi il segmento $M_1 M_2$ è chiaramente lungo 2x, in quanto unisce i punti medi e quindi risulta necessariamente la media aritmentica delle basi, se ne deduce che
$EF=M_1 M_2 - EM_1 - FM_2 = 2x -x/2 -x/2=x$.
Quindi abbiamo dimostrato che $EF$ è congruente a $CD$, e inoltre sappiamo essere parallelo $CD$. Quindi il quadrilatero $EFCD$ ha due lati uguali paralleli fra loro, e pertanto è necessariamente un parallelogramma.
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Livello 9
