Buonasera, qualcuno potrebbe provare a risolvere il seguente problema, che mi è stato proposto da un matematico? In un triangolo rettangolo, dati la differenza dei cateti e l' altezza relativa all' ipotenusa, calcolare il perimetro.
Ringrazio anticipatamente tutti coloro che risponderanno.
Manuel.;)
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Livello 0
Nel triangolo rettangolo di lati
* 0 < a <= b < c = √(a^2 + b^2)
e altezza h relativa all'ipotenusa, dalle espressioni dell'area si ricava che
* a*b = c*h
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Si chiede di esprimere il perimetro in funzione di h e della differenza
* d = b - a
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Vediamo un po' se il problema è determinato.
* d = b - a ≡ a = b - d
* c = √(a^2 + b^2) = a*b/h ≡
≡ √((b - d)^2 + b^2) = (b - d)*b/h ≡
≡ (b - d)^2 + b^2 = ((b - d)*b/h)^2 ≡
≡ b^4 - 2*d*b^3 + (d^2 - 2*h^2)*b^2 + 2*(d*h^2)*b - (d^2)*h^2 = 0
Dal sistema
* (b^4 - 2*d*b^3 + (d^2 - 2*h^2)*b^2 + 2*(d*h^2)*b - (d^2)*h^2 = 0) & (0 < d < b) & (h > 0)
si ottengono tre soluzioni reali:
* per d = (√8)*h, si ha b = (√2)*h
* per d != (√8)*h, si hanno
** b = (d + √(d^2 + 4*h^2 ± 4*h*√(d^2 + h^2)))/2
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IL PROBLEMA È COMPATIBILE, MA NON DETERMINATO (salvo per d = (√8)*h).
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AGGIUNTA (dopo mezza giornata di lavorìo subconscio)
Ieri ho scritto una stupidaggine: il sistema
«(b^4 - 2*d*b^3 + (d^2 - 2*h^2)*b^2 + 2*(d*h^2)*b - (d^2)*h^2 = 0) & (0 < d < b) & (h > 0)»
non dà solo soluzioni reali, a meno di non restringerlo alla forma
* (b^4 - 2*d*b^3 + (d^2 - 2*h^2)*b^2 + 2*(d*h^2)*b - (d^2)*h^2 = 0) & (0 < h <= d/√8 < b)
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Genius I
@manuelvozza2022
Es:
d= 1cm
h_ipot = 12/5 cm
Possiamo calcolare l'ipotenusa:
(24/5)*ip + 1² = ip²
5ip² - 24ip - 5 = 0 - - - > ip= 5 cm
Possiamo trovare C1:
C1² + C1*1 - (12/5)*5 = 0
C1² + C1 - 12 = 0
(C1+4)*(C1-3) = 0
C1= 3
Possiamo trovare
C2= C1+1 = 4
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Genius II
Ottimo, grazie mille per la disponibilità e la preparazione.
Prova a risolvere il sistema
b-a=d
ab/sqrt (a^2+b^2 ) =h
a^2 + b^2 = a^2 b^2/h^2
a^2 + b^2 - 2ab = d^2
sottraendo
2ab = a^2 b^2/h^2 - d^2
(ab)^2 - 2 h^2 (ab) - h^2 d^2 = 0
ab = (h^2 + sqrt(h^4 + h^2 d^2)
ab = h^2 + h sqrt (h^2 + d^2) = v
a(a+d) - v = 0
a^2 + da - v = 0
a = (-d + sqrt(d^2 + 4v))/2 = (sqrt [ 4h^2 + d^2 + 4h sqrt (h^2 + d^2) ] - d)/2
b = a + d = (sqrt [ 4h^2 + d^2 + 4h sqrt (h^2 + d^2) ] + d)/2
per cui P = a + b + sqrt (a^2 + b^2) =
= sqrt (Q) + sqrt ( ((sqrt(Q) - d)/2)^2 + ((sqrt(Q) + d)/2)^2 ) =
= sqrt (Q) + sqrt ( (Q+ d^2 + Q + d^2)/4 )
= sqrt (Q) + sqrt (Q/2 + d^2/2) =
= ... =
= sqrt (d^2 + 4*h^2 + 4*h*sqrt(h^2 + d^2)) + sqrt (d^2 + 2*h^2 + 2*h*sqrt(h^2 + d^2))
Questa soluzione é esatta perché l'ho provata con d = 10 e h = 24 e restituisce 120.
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Livello 6
