Dimostrare che $(\cos \theta)^p \leq \cos (p \theta)$, ove $\theta \in [0, \frac{π}{2}]$ e $p \in (0,1)$.
Dimostrare che $(\cos \theta)^p \leq \cos (p \theta)$, ove $\theta \in [0, \frac{π}{2}]$ e $p \in (0,1)$.
6218
punti
Livello 6
Suggerimento: si ricordi che in generale $\cos f(x) \in [-1,1]$.
Usiamo il fatto che la funzione g(t) = ln cos(t)
é concava in [0, pi/2] e quindi la sua opposta é convessa
infatti risulta g'(t) = 1/cos(t) * -sin(t) = - tg t
g''(t) = - 1/cos^2(t) <= 0 in [0, pi/2[
Pertanto si può utilizzare la disuguaglianza di Jensen
g [ p@ + (1 - p)*0 ] >= p * g(@) + (1 - p) * g(0)
ora g(0) = ln cos 0 = ln 1 = 0.
Si ha quindi
g (p @ ) >= p g (@)
ln cos (p @) >= p ln cos(@)
passando agli esponenziali il senso della disuguaglianza si mantiene
(cos(@))^p <= cos (p@)
avendo usato la proprietà dell'esponente.
Nota 1.
Dobbiamo comprendere che - in modo rapido ed improvviso -
la didattica della matematica sta cambiando. Il nocciolo dell'idea centrale me lo ha fornito
Mathgpt (azzurro ) ed io ho praticamente solo rimesso in ordine i passaggi.
ExProf si sarebbe strappato i capelli inorridito se avesse visto questo.
Nota 2.
La persona di coscienza non usa MAI le intelligenze artificiali prima di aver tentato in proprio.
Per cui anch'io avevo fatto due tentativi. All'inizio avevo pensato di vederlo come
(Re z)^p <= Re (z^p) con |z| = 1 e sperare che ci fosse qualche proprietà dei numeri
complessi che potesse venirmi in aiuto;
poi di scrivere, per un dato p, d(t) = cos^p (t) - cos(pt) e mostrare che l'estremo di questa
funzione sull'intervallo vale 0.
Nessuno dei due approcci mi é parso praticabile fino in fondo .
58339
punti
Livello 7
@eidosm io l'ho risolto così:
Si definisce
\[
h(\theta)\;=\;\ln\bigl(\cos(p\,\theta)\bigr)\;-\;p\,\ln\bigl(\cos\theta\bigr),
\]
su \(0\le\theta<\tfrac\pi2\). Se si mostra che \(h(\theta)\ge0\) per ogni \(\theta\), si ottiene
\[
\ln\bigl(\cos(p\theta)\bigr)\;\ge\;p\,\ln(\cos\theta)
\quad\Longrightarrow\quad
\cos(p\theta)\;\ge\;(\cos\theta)^p.
\]
Si calcola quindi la derivata di \(h\):
\[
h'(\theta)
=\frac{d}{d\theta}\Bigl[\ln(\cos(p\theta))\Bigr]
\;-\;p\,\frac{d}{d\theta}\Bigl[\ln(\cos\theta)\Bigr].
\]
\[
\frac{d}{d\theta}\ln(\cos(p\theta))
=\,-\,\tan(p\theta)\,\cdot p,
\qquad
\frac{d}{d\theta}\ln(\cos\theta)
=\,-\,\tan\theta.
\]
Quindi
\[
h'(\theta)
=-\,p\,\tan(p\theta)\;-\;p\bigl(-\tan\theta\bigr)
=\,p\Bigl[\tan\theta-\tan(p\theta)\Bigr].
\]
Poiché \(0<p<1\) e \(\tan x\) è strettamente crescente su \([0,\tfrac\pi2)\), da \(p\theta\le\theta\) si ottiene
\[
\tan(p\theta)\le\tan(\theta)
\quad\Longrightarrow\quad
\tan\theta-\tan(p\theta)\ge0
\;\Longrightarrow\;
h'(\theta)\ge0.
\]
Quindi \(h\) è crescente su \([0,\tfrac\pi2)\).
Infine,
\[
h(0)
=\ln(\cos(0)) - p\ln(\cos0)
=0 - p\cdot0=0,
\]
e per monotonia \(h(\theta)\ge h(0)=0\). Da ciò segue immediatamente
\[
\ln\bigl(\cos(p\theta)\bigr)\ge p\,\ln(\cos\theta)
\quad\Longrightarrow\quad
\cos(p\theta)\ge(\cos\theta)^p,
\] .
Per quanto riguarda la questione AI concordo con te, il modo migliore di utilizzarla è non farsi rimpiazzare da essa e provare prima da sé. Sarebbe stato interessante vedere le opinioni di exProf su ciò; io al momento, sul forum, la utilizzo principalmente per farmi scrivere la risposta in latex, ad esempio scrivo i passaggi da svolgere a parole e l'AI completa tutti i conti ecc, è abbastanza comoda. Per le risposte autonome al momento non mi fido ancora abbastanza dato che il modello è comunque linguistico e non è pensato esattamente per ciò, in breve ragiona come un liceale che ha imparato a memoria gli algoritmi per risolvere gli esercizi senza capire pienamente la teoria. In ogni caso sembrano molto interessanti gli ultimi sviluppi sui quesiti delle olimpiadi.
Per ora ho notato che Mathful é portentosa. Non ha sbagliato un problema neppure quando gliene ho dato qualcuno che non sta sui libri. Solo che si perde in chiacchiere ( in inglese ) e non sempre arriva a scrivere la conclusione sintetica in italiano. Inoltre la versione gratuita si può usare solo due volte al giorno.
@eidosm non ne ho mai sentito parlare, la proverò per qualche esercizio per vederne le potenzialità. Ritengo comunque che, per gli ambiti STEM, bisogni andare oltre il semplice modello dei Large Language Model, per poter fare progressi seri anche nella ricerca matematica e fisica. Non so come reagirei a una notizia del tipo "l'AI ha confermato l’ipotesi di Riemann", ma dai recenti sviluppi (come VEO3) sembra che questa possibilità non sia così remota. Anzi, anche la didattica potrebbe cambiare nel giro di pochi mesi: caricando il materiale, si possono ottenere lezioni visive personalizzate, in linea con ciò che viene fornito.
Ho provato anche a creare un podcast usando Notebook LM, ed è impressionante. Ti allego il file.
Aggiungendo qualcosa con manim creato sempre tramite AI si otterrebbe un'ottima lezione sintetica...