Sistemi

Procedo per sostituzione: x = y + 2·z

nella prima e nella seconda del sistema lineare in x,y,z:

{(y + 2·z) + y + z = 1

{(y + 2·z) - y = z + 2

-----------------------------

{2·y + 3·z = 1

{2·z = z + 2

dalla seconda di questo sistema ottengo:  z = 2

Quindi:

2·y + 3·2 = 1---> y = - 5/2

Infine trovo x:

x = - 5/2 + 2·2----> x = 3/2

Quindi soluzione sistema:

[x = 3/2 ∧ y = - 5/2 ∧ z = 2]

3b

sommando m. a m. la 1 e la 2 si ottiene :

2x = 3 ; x = 3/2 che sostituisco nella 2 e nella 3 

sottraendo la 3 dalla 2 si ha immediatamente z = 2 

y = 1-3/2-2 = -5/2

pertanto :

x = 3/2

y = -5/2

z = 2 

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$\small \begin{Bmatrix}
x+y+z&=&1 \\
x-y&=&z+2 \\
x&=&y+2z\\
\end{Bmatrix}$

sostituisci la "x" della 3° equazione alla "x" della 2° e nella 1°:

$\small \begin{Bmatrix}
y+2z+y+z&=&1 \\
y+2z-y&=&z+2 \\
x&=&y+2z\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
2y+3z&=&1 \\
\cancel{y}+2z\cancel{-y}&=&z+2 \\
x&=&y+2z\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
2y+3z&=&1 \\
2z-z&=&2 \\
x&=&y+2z\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
2y+3z&=&1 \\
z&=&2 \\
x&=&y+2z\\
\end{Bmatrix}$

sostituisci la "z" nella 1° e nella 3°:

$\small \begin{Bmatrix}
2y+3·2&=&1 \\
z&=&2 \\
x&=&y+2·2\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
2y+6&=&1 \\
z&=&2 \\
x&=&y+4\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
2y&=&1-6 \\
z&=&2 \\
x&=&y+4\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
2y&=&-5 \\
z&=&2 \\
x&=&y+4\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
\dfrac{\cancel2y}{\cancel2}&=&\dfrac{-5}{2} \\
z&=&2 \\
x&=&y+4\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
y&=&-\dfrac{5}{2} \\
z&=&2 \\
x&=&y+4\\
\end{Bmatrix}$

sostituisci la "y" nella 3°:

$\small \begin{Bmatrix}
y&=&-\dfrac{5}{2} \\
z&=&2 \\
x&=&-\dfrac{5}{2}+4\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
y&=&-\dfrac{5}{2} \\
z&=&2 \\
x&=&\dfrac{-5+8}{2}\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
y&=&-\dfrac{5}{2} \\
z&=&2 \\
x&=&\dfrac{3}{2}\\
\end{Bmatrix}$

quindi risulta:

$\small x=\dfrac{3}{2}\; \land y=-\dfrac{5}{2}\; \land z=2$