Problemi sui teoremi di Pitagora e di Euclide

Secondo il primo teorema di Euclide, il rettangolo avente per lati l'ipotenusa di un triangolo rettangolo e la proiezione di un cateto sull'ipotenusa dello stesso è equivalente al quadrato del suddetto cateto.

Nel nostro caso significa che:

$\overline{BC} \times \overline{HC}= \overline{AC}^2$

Sappiamo che $\overline{AB} - \frac{5}{8}\overline{HC}=2a$, quindi ricaviamo che $\overline{HC}=\frac{8}{5}\overline{AB}-\frac{16}{5}a=\frac{8}{5}(\overline{AB}-2a)$

Sappiamo inoltre che $\overline{BC}=\overline{AB}+4a$

Troviamo $\overline{AC}^2$ con il teorema di Pitagora: $\overline{AC}^2=\overline{BC}^2-\overline{AB}^2=\overline{AB}^2+8a\overline{AB}+16a^2-\overline{AB}^2=16a^2+8a\overline{AB}$

Adesso sostituiamo tutto nella prima equazione:

$\frac{8}{5}(\overline{AB}-2a)(\overline{AB}+4a)=16a^2+8a\overline{AB}$

$(\overline{AB}-2a)(\overline{AB}+4a)=10a^2+5a\overline{AB}$

$\overline{AB}^2+4a\overline{AB}-2a\overline{AB}-8a^2=10a^2+5a\overline{AB}$

Questo è un trinomio caratteristico, i due numeri la cui somma è  $-3a$ e il cui prodotto è $-18a^2$ sono $-6a,\ 3a$, quindi:

$(\overline{AB}+3a)(\overline{AB}-6a)=0$

$\overline{AB}=-3a$ non è una soluzione accettabile, perché risulterebbe $\overline{BC}=a$

Questo significa che se $a$ è positivo allora solo l'ipotenusa è positiva, se è negativo solo $\overline{AB}$ è positivo, entrambe le lunghezze devono essere positive, tuttavia questo non è possibile, allora l'unica soluzione accettabile è $\overline{AB}=6a$, quindi $\overline{BC}=6a+4a=10a$ mentre $\overline{AC}=\sqrt{(10a)^2-(6a)^2}=\sqrt{100a^2-36a^2}=\sqrt{64a^2}=8a$, allora il perimetro è $6a+10a+8a=24a$