[Risolto] Problema trigonometria

Con riferimento al triangolo di figura, possiamo dire che:

gli angoli alla base del triangolo assegnato valgono 72° per costruzione in quanto, considerando il triangolo ACD isoscele con lati obliqui pari ad y (cioè AC=CD) abbiamo

2·θ + 2·θ + θ = 5·θ  =180°   -------- >  θ = 36°

D’altra parte il triangolo CDB è anch’esso isoscele in quanto l’angolo in D esterno al triangolo precedente vale:

δ = 180 - 2·36--- >  δ = 108° conseguentemente: β = 180 - (108 + 36) = 36°

Quindi: y = √2 – x

Con riferimento quindi al triangolo ABC iniziale vale il:

Teorema della bisettrice: “In un triangolo due lati stanno fra loro come le parti in cui resta diviso il terzo lato dalla bisettrice dell'angolo interno ad esso opposto”

Possiamo quindi dire che vale la proporzione:

(√2 - x)/√2 = x/(√2 - x)------ >   x = 3·√2/2 - √10/2 ∨ x = √10/2 + 3·√2/2

Si considera la prima in quanto la seconda è superiore alla misura del lato obliquo (in grassetto).

Quindi:  y = √2 – x = √2 - (3·√2/2 - √10/2)------ > y = √10/2 - √2/2 ( = circa  0.874 )

L’area di tale triangolo vale: A=1/2·(√10/2 - √2/2)·√2·SIN(72°) = 0.588 circa

A= semiprodotto delle misure di due suoi lati per il seno dell'angolo fra essi compreso.