Problema spin 1/2

Question

Si consideri una particella di spin $1 / 2$. Su di essa, viene effettuata una prima misura della componente $\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{S}$ dello spin, nella direzione $\boldsymbol{u}=\left(\begin{array}{c}\sin \theta \\ 0 \\ \cos \theta\end{array}\right)$. Tale misura fornisce il risultato $+\hbar / 2$. Si determinino i valori medi delle tre componenti $S_x, S_y, S_z$ dopo la misura. Si valuti, inoltre, la probabilità che una seconda misura, nella direzione $z$, fornisca il risultato $-\hbar / 2$.

Salve, ho un dubbio riguardo questo esercizio

io lo ho svolto diagonalizzando l'Hamiltoniano, e quindi ho trovato che lo stato iniziale si può scrivere come: |φ ,0> = cos(θ/2) |+> + sen(θ/2) |->

Poi ho calcolato i valori medi di Sx, Sy ed Sz su questo stato inziale.
Dite che bisogna farlo così oppure il valore medio va calcolato sull'evoluto temporale dello stato iniziale? Ho questo dubbio per il fatto che chiede di determinare i valori medi "dopo la misura".

Grazie in anticipo

Autore

Risposta

dialessluca

(@dialessluca)

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13/02/2024 10:32

enrico_bufacchi · Accepted Answer

L'approccio è corretto:

Lo stato iniziale si può descrivere attraverso la relazione

\[|\phi, 0 \rangle = \cos{\left(\frac{\theta}{2}\right)} |+\rangle + \sin{\left(\frac{\theta}{2}\right)}| - \rangle \,.\]

Per $S_x\,$:

\[\langle S_x \rangle = \cos^2{\left(\frac{\theta}{2}\right)}\langle+|S_x|+\rangle + 2\cos{\left(\frac{\theta}{2}\right)}\sin{\left(\frac{\theta}{2}\right)}\mathcal{R}\langle|S_x\,,\]

tale che

\[\langle|S_x = \frac{\hbar}{2}|-\rangle \land S_x|-\rangle = \frac{\hbar}{2}|+\rangle \implies\]

\[\langle S_x \rangle = \hbar \cos{\left(\frac{\theta}{2}\right)}\sin{\left(\frac{\theta}{2}\right)} = \frac{\hbar}{2}\sin{\theta}\,.\]

Per $S_y\,$:

\[\langle S_y \rangle = 0\,.\]

Per $S_z\,$:

\[\langle S_z \rangle = \cos^2{\left(\frac{\theta}{2}\right)}\langle + |S_z| + \rangle + \sin^2{\left(\frac{\theta}{2}\right)}\langle-|S_z|-\rangle\,,\]

tale che

\[S_z |+\rangle = \frac{\hbar}{2}|+\rangle \land S_z|-\rangle = -\frac{\hbar}{2}|-\rangle \implies\]

\[\langle S_z \rangle = \frac{\hbar}{2}\cos{\theta}\,.\]

La probabilità che una seconda misura di $S_z$ fornisca come risultato $-\frac{\hbar}{2}$ è

\[P(S_z = -\hbar / 2) = |\langle - |\phi,0\rangle|^2 = \sin^2{\left(\frac{\theta}{2}\right)}\,.\]

enrico_bufacchi

(@enrico_bufacchi)

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05/07/2024 16:03

[Risolto] Problema spin 1/2

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