Un corpo e' posizionato su un piano e si sposta con velocita' v0=5m/s. Arriva alla base del piano inclinato con alpha = 60 gradi e inizia a salire fino ad arrivare all'altezza massima. Dopodiche' scende. Calcolare il coefficiente di attrito dinamico sapendo che il corpo passa nel punto di origine con velocita' v1=4m/s.
Come ho provato a risolverlo:
Dato che il corpo nell'istante t0 si muove con v0=5m/s su una superficie piana si ha che: Energia corpo = 1/2*m*v^2 e l'Energia potenziale =0 (dato che si prende h0=0).
Dall'espressione precedente:
1/2mv^2 = mgh-2*(u*m*g*s*cos(alpha)) dove u e' il coeffciente di attrito dinamico da trovare e s*cos(alpha) e' la componente del peso perpendicolare al piano inclinato.
Isolando u, si trova: u=0.4 circa.
Dato che il risultato sul testo e' di 0.38 circa vorrei sapere se il mio ragionamento e' giusto oppure bisogna procedere in un altro modo. Grazie in anticipo.
No, il procedimento è sbagliato (infatti dovresti fare attenzione al numero di cifre significative che ti viene dato nel risultato).
Ci sono un po' di errori:
Nota innanzitutto che l'energia meccanica non si conserva perché agiscono forze non conservative (la forza di attrito), tra i dati del testo non è fornito $s$, quindi non capisco come tu possa trovare $\mu _d$ dall'equazione $\frac{1}{2}mV_0 ^2 = mgh-2(\mu _d m g s \cos \alpha)$, dato che a questo punto hai 3 incognite - potresti scrivere $h= s \sin \alpha$ -, e comunque $s \cos \alpha$ non è una forza, è una lunghezza perché suppongo che $s$ sia lo spostamento lungo il piano inclinato compiuto dall'oggetto. Inoltre, se anche sostituissi $s=mg$, dopo le dovute semplificazioni avresti $gh-2 \mu _d m g^2 \cos \alpha = \frac{1}{2}V_0 ^2$.
Ecco come ho operato io: Nota che quando il corpo è in salita durante il primo tratto con l'attrito, su di esso agiscono due forze: la componente della forza peso parallela al piano inclinato e la forza di attrito, dalla seconda legge della dinamica quindi, la forza risultante $\vec{F_1}=m\vec{a_1}$ ha modulo $ma_1=mg \sin 60^{\circ} + mg \cos 60^{\circ} \mu _d$. Nel caso in cui il corpo scenda la forza di attrito si oppone alla componente parallela del peso, quindi agisce una forza risultante $\vec{F_2} = m\vec{a_2}$ di modulo $ma_2 = mg\sin 60^{\circ} - mg\cos 60^{\circ} \mu _d$.
Dalle formule del moto uniformemente accelerato dovresti ricordare che $a=\frac{V_f^2-V_i^2}{2s}$ (quando, come nel nostro caso $s_0=0m$ perché il sistema di riferimento è rivolto nella direzione positiva concorde al verso della componente parallela della forza peso al piano inclinato, e $s_0$ è posizionato all'inizio del piano), dato che la velocità iniziale del corpo era $\vec{V_0}$ e nel punto di altezza massima è $0m/s$, possiamo concludere che $a_1 = \frac{(0m/s)^2-V_0^2}{2s} = \frac{V_0^2}{2s}$ (il segno -che sarebbe negativo- è positivo perché l'accelerazione è rivolta verso il verso positivo del sistema di riferimento che avevamo scelto). Allo stesso modo, essendo la velocità nel punto di altezza massima $0m/s$ e $\vec{V_1}$ nel suo ritorno al punto di origine concludiamo che $a_2 = \frac{V_1 ^2 - (0m/s)^2}{2s} = \frac{V_1^2}{2s}$ (anche questa volta l'accelerazione è rivolta nel verso positivo del sistema).
Dividi tutto per $m$ e somma le due equazioni per ricavare: $2g\sin60^{\circ} = \frac{V_0 ^2 + V_1 ^2}{2s}$, da cui ricavi $s \approx 1.21m$
Adesso sottrai la seconda alla prima e sostituisci $s= 1.21m$ per ottenere: $2g\cos 60^{\circ} \mu _d = \frac{V_0 ^2 - V_1 ^2}{2s}$, da cui ricavi che $\mu _d = \frac{V_0 ^2 - V_1 ^2}{4g \cos 60^{\circ}s}$ che sostituendo con il valore approssimato risulta $\mu _d \approx 0.38$ ($\mu _d =0.379490...$ secondo questa approssimazione, per $g=9.8m/s^2$ e $s=1.21m$).
Ecco un diagramma del corpo libero dove $A$ è il corpo in salita e $A_1$ è il corpo in discesa.
Modifico la risposta per aggiungere una dimostrazione alla formula dell'accelerazione: Sapendo che la legge oraria di un moto uniformemente accelerato, quando $s_0=0m$ si riduce a $S=V_it + \frac{1}{2}at^2$, e che la relazione che lega la velocità finale alla velocità iniziale è $V_f = V_i + at$, possiamo ricavare che $t= \frac{V_f-V_i}{a}$, sostituiamo ora nella legge oraria:
Approccio al problema : la perdita di energia cinetica in fondo alla discesa altro non è che l'energia persa in attrito lungo il tragitto "salita + discesa" ; si trova, tanto per cominciare, quanto vale la lunghezza della salita L :
moto di salita :
m/2*5^2 = m*g*(L*sin 60°+L*cos 60°*μ)
la massa m si semplifica
25 = 2*9,806*(L*0,866+0,5*L*μ)
25 = 19,612*(0,866L+0,5*L*μ)
25 = 16,98L+9,806*L*μ
25 = L(16,98+9,806μ)
L = 25/(16,98+9,806μ)
d = salita + discesa = 2L = 50/(16,98+9,806μ)
la perdita di energia cinetica è pari a quanto si perde in attrito ; in formula :
m/2*(Va^2-Vr^2) = m*g*cos 60°*d*μ
la massa m si semplifica
5^2-4^2 = 2*9,806*0,866*d*μ
sostituisco a d la sua espressione (funzione di μ)
