Problema moto parabolico

La componente verticale della velocità v é nulla nel punto di massima altezza.

Pertanto Hmax = 4.6 e poiché

vx = vo cos a * t

vy = vo sin a  - g t

 

la Hmax viene raggiunta per t = vo sin a / g

vo t sin a - g/2 t^2 = vo^2 sin^2 (a) / g - g/2 vo^2 sin^2 (a)/ g^2 = vo^2 sin^2(a)/(2g)

mentre d = vo cos a * vo sin a / g = vo^2 sin a cos a / g

 

Riepilogando ne risulta il sistema

{ vo^2 sin^2 (a)/(2g) = H

{ vo^2 sin a cos a / g = D

 

dividendo    (tg a) /2 = H/D

tg a = 2H/D

Ricordando che

 

sin a = tg a/rad(1 + tg^2(a))

sin^2(a) = tg^2(a)/(1 + tg^2(a) )

 

vo^2 * (2H/D)^2/(1 + (2H/D)^2) = 2 g H

ovvero

 

vo^2 = 2 g H ( 1 + 4 H^2/D^2) /(4 H^2/D^2) = 2 g H ( D^2 + 4 H^2 )/(4 H^2) =

= g (D^2 + 4H^2)/(2H)

 

ricordando inoltre che cos a = 1/rad( 1 + tg^2 (a) ) =

= 1/rad(1 + 4H^2/D^2) = D/rad(D^2 + 4H^2)

 

risulta infine

vx* = vo cos a = rad ( D^2/(D^2 + 4H^2) * g (D^2 + 4H^2)/(2H) ) =

= D rad (g/(2H) ) = 4.3 * rad ( 9.806 /(2*4.6) ) m/s ~ 4.44 m/s.

 

 

 

Tempo di ascesa = tempo di caduta del grave $t= \sqrt{2×\frac{h}{g}} = \sqrt{2×\frac{4,6}{9,81}} ≅ 0,97 s$ (dal moto rettilineo uniformemente vario);

velocità orizzontale $v= \frac{S}{t} = \frac{4,3}{0,97} ≅ 4,4 \frac{m}{s}$ (dal moto rettilineo uniforme).

velocità verticale iniziale Voy = √2gh = √19,612*4,6 = 9,50 m/sec (conservaz. energia)

tempo di salita t = Voy/g = 9,50/9,806 = 0,969 sec 

velocità orizzontale Vox = d/t = 4,3/0,969 = 4,44 m/sec 

La componente orizzontale richiesta non varia con la gravità quindi vale
* vx = Δx/T = 4.3/T m/s
dove T > 0 è il tempo necessario a coprire 4.6 m in verticale e lo si trova da
* 0 = 4.6 - (g/2)*T^2 ≡ T = √(2*4.6/g) = √(2*4.6/9.80665) ~= 0.9686 s
* vx = Δx/T = 4.3/√(2*4.6/9.80665) ~= 4.4395 ~= 4.4 m/s