Il punto A ha ascissa 3, quindi ordinata 6/3 =2
A (3,2)
La generica retta per A ha equazione
y -2 = m(x-3)
ovvero y = mx +(2-3m)
Sostituiamo y nell'equazione dell'iperbole:
x*[mx +(2-3m)] =6
ovvero
mx² +(2-3m)x - 6 = 0
Affinché ci sia tangenza deve essere nullo il determinante della precedente equazione. Ovvero
(2-3m)² + 24m =0
ovvero
9 m²+12m+4 = 0
che ha come soluzione
m = - 2/3
quindi la retta tangente ne punto A ha equazione:
ovvero y = -2/3 x +4
Il punto B ha ascissa 1, quindi ordinata 6/1 =6
B (1,6)
La generica retta per B ha equazione
y -6 = m(x-1)
ovvero y = mx +(6-m)
Sostituiamo y nell'equazione dell'iperbole:
x*[mx +(6-m)] =6
ovvero
mx² +(6-m)x - 6 = 0
Affinché ci sia tangenza deve essere nullo il determinante della precedente equazione. Ovvero
(6-m)² + 24m =0
ovvero
9 m²+12m+36 = 0
che ha come soluzione
m = -6
quindi la retta tangente ne punto A ha equazione:
ovvero y = -6x +12
Il punto C si trova risolvendo il sistema tra le due rette :
y = -2/3 x +4
y = -6x +12
che fornisce
C (3/2, 3)
L'area del triangolo mistilineo è data da:
[Integrale definito dell'iperbole da x=1 a x=3] - area dei due trapezi rettangoli delimitati dall'asse delle ascisse e dai lati BC e CB
L'integrale indefinito è:
∫6/x dx = 6log(x) + cost.
L'integrale definito per x da 1 a 3 è
6 log(3)-6log(1) = 6.592
L'area del primo trapezio è:
A1 = (6+3)*(3/2-1)/2 = 9/4 = 2.25
L'area del secondo trapezio è:
A2 = (3+2)*(3-3/2)/2 = 15/4 = 3.75
L'area del triangolo mistilineo è:
At = 6.592 - 2.25 - 3.75 = 0.592