Problema geometria analitica

Per il momento ti invio la figura. Stasera la risoluzione. Ciao.

Per il baricentro G:

{x = (1 + 4 + 3)/3

{y = (3 + 1 + 5)/3

G(8/3,3)

Per il circocentro, anche se non è la via più veloce, trovi la circonferenza:

x^2 + y^2 + a·x + b·y + c = 0

tramite il sistema:

{1^2 + 3^2 + a·1 + b·3 + c = 0

{4^2 + 1^2 + a·4 + b·1 + c = 0

{3^2 + 5^2 + a·3 + b·5 + c = 0

Quindi:

{a + 3·b + c = -10

{4·a + b + c = -17

{3·a + 5·b + c = -34

che porta alla soluzione:  [a = - 31/5 ∧ b = - 29/5 ∧ c = 68/5]

Quindi:

x^2 + y^2 - 31·x/5 - 29·y/5 + 68/5 = 0

Da cui riconosci il centro: D(31/10,29/10)

Per l'ultima domanda, i triangoli considerati hanno la stessa altezza quindi la proporzione fra le loro aree è la stessa di quella per le loro basi rispettive:

Quindi per il lato AB, possiamo scrivere:

{x = 1 + 3·t

{y = 3 - 2·t

in cui si riconosce che per t=0------>A(1,3)

per t=1-------> B(4,1)

Quindi si deve dividere il tragitto A--->B in 4+5=9 parti. P sarà dato in corrispondenza dei 4/9 del tragitto:  t = 4/9

{x = 1 + 3·(4/9)

{y = 3 - 2·(4/9)

P(7/3, 19/9)

La foto fa venire il torcicollo. Fortuna che ti hanno già risposto! Anche @exprof  si è sacrificato a leggere di traverso! Non c'è più religione! Abbiamo eliminato il regolamento!

Buon anno a tutti!

Le foto allegate dovrebbero inquadrare il solo esercizio d'interesse, essere riprese di piatto senza gobbe e di fronte senza punti di fuga, e PUBBLICATE PER DRITTO.
Insomma, si dovrebbero poter leggere senza rovinarsi le cervicali.
"Per il circocentro non posso usare la formula" non è una limitazione, ma solo la constatazione di un fatto: è come dire che per le uova strapazzate non si può usare il sarchiapone.
A proposito, BRAVA! e GRAZIE! per aver scritto "usare" e non lo stupidissimo "utilizzare", quasi sempre piazzato lì orribilmente come i cavoli a merenda.
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Per determinare baricentro (G), circumcentro (O) ed area (S) occorrono e bastano le coordinate dei tre vertici (A, B, C); per il perimetro (p) servono le misure dei lati (a, b, c) opposti ai vertici omonimi; per l'incentro (I) servono tutt'e due.
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A partire dalle coordinate dei vertici si può usare una formula per l'area
* S(ABC) = (1/2)*|xA*(yB - yC) - xB*(yA - yC) + xC*(yA - yB)|
o per le coordinate, medie delle omologhe, del baricentro G
* xG = (xA + xB + xC)/3
* yG = (yA + yB + yC)/3
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Per il circumcentro O, centro della circonferenza circoscritta, non bastano solo i valori delle coordinate, ma si deve trovare l'unico punto O(xO, yO) del piano equidistante dai vertici (e la comune distanza è il circumraggio R), cioè si deve risolvere il sistema di tre equazioni in {xO, yO, R}
* |OA|^2 = |OB|^2 = |OC|^2 = R^2
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Infine per l'incentro I, centro della circonferenza inscritta, cioè l'unico punto del piano equidistante dai lati (e la comune distanza è l'inraggio r), si calcolano le sue coordinate come media ponderata delle omologhe coordinate dei vertici con pesi le misure dei lati opposti
* xI = (a*xA + b*xB + c*xC)/(a + b + c)
* yI = (a*yA + b*yB + c*yC)/(a + b + c)
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ESERCIZIO 541
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Parte standard
* A(1, 3), B(4, 1), C(3, 5)
* (a, b, c) = (√17, 2*√2, √13)
* p = √17 + 2*√2 + √13 ~= 10.6
* S(ABC) = 5
* G(8/3, 3)
* O(31/10, 29/10) con circumcerchio (x - 31/10)^2 + (y - 29/10)^2 = 221/50
* I(~ 2.48681, ~ 3.14722) troppi radicali per la mia pazienza dattilografica, e ancora di più per l'incerchio.
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Parte speciale
Il lato AB è
* AB ≡ (y = (11 - 2*x)/3) & (1 <= x <= 4)
quindi il richiesto punto P(x, (11 - 2*x)/3) è limitato da x in [1, 4].
Le aree d'interesse risultano
* S(APC) = (5/3)*|x - 1|
* S(PBC) = (5/3)*|x - 4|
quindi la condizione
* S(APC)/S(PBC) = 4/5
dà luogo a
* ((|x - 1|)/(|x - 4|) = 4/5) & (1 <= x <= 4) ≡
≡ (|x - 1| = (|x - 4|)*4/5) & (1 < x < 4) ≡
≡ ((x - 1 = - (|x - 4|*4/5)) oppure (x - 1 = (|x - 4|*4/5))) & (1 < x < 4) ≡
≡ ((|x - 4| = - (5/4)*(x - 1)) oppure (|x - 4| = (5/4)*(x - 1))) & (1 < x < 4) ≡
≡ ((x - 4 = (5/4)*(x - 1)) oppure (x - 4 = - (5/4)*(x - 1))) & (1 < x < 4) ≡
≡ ((x = - 11) oppure (x = 7/3)) & (1 < x < 4) ≡
≡ (x = - 11) & (1 < x < 4) oppure (x = 7/3) & (1 < x < 4) ≡
≡ (insieme vuoto) oppure (x = 7/3) ≡
≡ x = 7/3
da cui
* P(7/3, (11 - 2*7/3)/3) = (7/3, 19/9)