Problema funzione esponenziale

Commuove un po' vedere la scritta "(* rappresenta la x)" da parte di una che frequenta il sito da più d'un mese e ancora non ha visto né l'operatore infisso di esponenziazione (base^x) né, più rara da incontrare, la notazione funzionale (power[base, esponente]).
Il carattere "* star (asterisco, in inglese)" un suo significato già ce l'ha: è l'operatore esplicito di moltiplicazione per uno scalare (star product). Per rappresentare un esponente si usa il carattere "^ caret (manca, in latino)" subito prima.
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1) Stabilisci le condizioni sui parametri (a, b, c) affinché f(x) sia pari.
La funzione esponenziale in base due, con parametri (a, b, c)
* f(x) = y = a*2^x + b*2^(- x) + c
è pari (con l'asse y di simmetria) se la si riduce a un coseno iperbolico traslato in verticale e mutato di scala, con
* k = a = b
* f(x) = y = c + k*(2^x + 2^(- x))
in quanto
* g(x) = y = (B^x + B^(- x)) = 2*cosh(ln(B)*x) per ogni B non nullo.
ESEMPI
* f(x) = y = - 3 + 5*(2^x + 2^(- x))
* f(x) = y = + 3 - 5*(2^x + 2^(- x))
Vedi i paragrafi "Plots" e "Alternate forms" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D-3%2B5*%282%5Ex%2B2%5E%28-x%29%29%2Cy%3D3-5*%282%5Ex%2B2%5E%28-+x%29%29%5D
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2) Determina i parametri (a, b, c) in modo che:
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2a) f(x) sia pari;
* f(x) = y = c + k*(2^x + 2^(- x))
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2b) f(1) valga uno;
* f(1) = y = c + k*(2^1 + 2^(- 1)) = c + 5*k/2 = 1 ≡ k = (2/5)*(1 - c)
* f(x) = y = c + (2/5)*(1 - c)*(2^x + 2^(- x))
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2c) il grafico di y = f(x) passi per l'origine.
* f(0) = y = c + (2/5)*(1 - c)*(2^0 + 2^(- 0)) = 0 ≡ c = - 4 →
→ k = (2/5)*(1 - (- 4)) = 2
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2d) Risultato
* f(x) = y = 2*2^x + 2*2^(- x) - 4 ≡
≡ f(x) = y = 4*(cosh(ln(2)*x) - 1)
Vedi i paragrafi "Plots" e "Parity" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=y%3D4*%28cosh%28ln%282%29*x%29-1%29
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3) Determina ... trovati al punto precedente.
* f(x) = y = 4*(cosh(ln(2)*x) - 1)
è definita per ogni valore di x ed è quasi ovunque positiva tranne che nell'origine dove ha uno zero doppio.