[Risolto] Problema distribuzione di probabilità

Ciao! Dato che l'estrazione delle tre palline avviene in contemporanea, possiamo considerarlo come un esperimento con $3$ estrazione senza reinserimento, e dunque modellizzarlo mediante una distribuzione Ipergeometrica $\approx H(n,a,t)$, con n = totale delle palline, a = totale delle palline nel sottinsieme da cui voglio estrarre, t = estrazioni effettuate.

Vogliamo estrarre tre palline dello stesso colore, quindi o 3 Bianche o 3 Nere.

Se consideriamo le tre bianche: $\approx H(10, 3, 3)$ quindi vogliamo estrarre da un gruppo (palline bianche) che ha 3 elementi, in totale abbiamo 10 palline, e facciamo 3 estrazioni.

Calcoliamo la probabilità di estrarre, da questo gruppo di 3 elementi,  $k=3$ palline che vi appartengano: 

$\frac{\binom{a}{k}\binom{n-a}{t-k}}{\binom{n}{t}}= \frac{\binom{3}{3}\binom{10-3}{10-3}}{\binom{10}{3}} =\frac{1}{120} $

Nel caso di palline nere, invece: $\approx H(10, 7,3)$:

$\frac{\binom{7}{3}\binom{10-7}{3-3}}{\binom{10}{3}} =\frac{35}{120} $

Noi vogliamo calcolare la probabilità di estrarre 3 palline nere OPPURE 3 palline bianche, quindi è la probabilità di un'unione di eventi. Usiamo la formula dell'unione di eventi:

$P(3N \text{ oppure } 3B ) = P (3N)+P(3B)-P(3N \text{ e } 3B)$

Ma non è possibile estrarre contemporaneamente tre palline nere e tre palline bianche, quindi l'ultimo termine è nullo.

Il risultato è quindi: $\frac{1}{120} + \frac{35}{120} = \frac{36}{120} = 0.3$

Quindi c'è lo $0.3$ di probabilità di vincita. 

Sulla somma corrisposta ho dei dubbi perché non capisco bene cosa intende. Secondo me si può ragionare così: 

se la probabilità di vincita è $0.3$, allora se giocano 10 persone vincono solo 3. Ma se giocano 10 persone in totale ci sono 200 euro in palio, e i 3 vincenti si dividono la somma avendo così 66.6 euro a testa.

Ciao, puoi procedere così:

 Calcoliamo le combinazioni di 3 palline i nu gruppo da 10, cioè tutte le possibile estrazioni:

$C_{10,3}=\binom{10}{3}=\frac{10!}{3!(10-3)!}=\frac{10!}{3!7!}=120$

Per le palline bianche non abbiamo bisogno di calcolare le combinazioni vincenti perché unica ne abbiamo solo 3

Mentre per le nere calcoliamo le combinazioni:

$C_{7,3}=\binom{7}{3}=\frac{7!}{3!(7-3)!}=\frac{7!}{3!4!}=35$

La probabilità di estrarre 3 palline bianche è:

$P(B)=1/120$

La probabilità di estrarre 3 palline nere è:

$P(A)=35/120$

La probabilita di estrarre 3 palline dello stesso colore è:

$P_{tot} =P(B)+P(A)= \frac{1}{120}+\frac{35}{120}=\frac{36}{120}=\frac{3}{10}$

Se il gioco è equo giocando 20 euro dovrei vincere una somma pari a:

$20[\frac{1}{0,3}]= 20(3,33)= 66,7€$

con un guadagno di 46,7 €