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[Risolto] Problema di logica matematica.

  

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Salve, ho questo tipo di problema.

 

Margherita afferma che 3 camicie e 6 maglioni costano come 3 gonne; secondo Anna, invece, 2 maglioni più 2 gonne costano come 7 camicie; Giorgio infine sostiene che 3 camicie e 2 gonne hanno lo stesso prezzo di 4 maglioni.

Si sa che uno solo di essi mente.

A: Anna

B: Margherita

C: Giorgio, Margherita o Anna ma non è possibile identificare univocamente chi

D: Giorgio

E: Giorgio o Margherita ma non è possibile identificare univocamente chi.

 

Ho impostato un sistema con 3 equazioni e 3 incognite e tutte le incognite mi vengono 0. Per cui direi che la risposta è la C, ma non ne sono sicura.

Qualcuno può aiutarmi? Anche a capire come ragionare in questi casi.

Grazie a tutti.

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Il "come ragionare" è il Metodo che Cartesio pubblicò nel 1659 in "La Géométrie".
1) Considerare risolto il problema (scrivere l'espressione delle incognite).
2) Inventariare tutte le entità del problema, note e incognite, e nominare ciascuna con una lettera minuscola (a, b, c, ... per le note; z, y, x, ... per le incognite).
3) Scrivere le relazioni fra tali entità come espressioni nelle lettere assegnate.
4) Per ogni lettera incognita scrivere un'equazione fra due sue espressioni.
5) Se non si riesce a scrivere tante equazioni per quante sono le incognite vuol dire che il problema è indeterminato per carenza di vincoli.
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NEL CASO IN ESAME
PREZZI {x, y, z} di un/a {camicia, gonna, maglione}
AFFERMAZIONI {A, G, M} di {Anna, Giorgio, Margherita}
DATO "Si sa che uno solo di essi mente"
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Ciascuna delle tre affermazioni è un'eguaglianza fra i costi di alcuni possibili acquisti di forma "quantità per prezzo"
A: 2*z + 2*y = 7*x
G: 3*x + 2*y = 4*z
M: 3*x + 6*z = 3*y
e, in assenza di costi fissi, ognuna di tali eguaglianze equivale a un'equazione lineare omogenea nelle tre variabili {x, y, z}
A: 7*x - 2*y - 2*z = 0
G: 3*x + 2*y - 4*z = 0
M: x - y + 2*z = 0
---------------
Il dato dice che la soluzione della coppia di affermazioni vere NON PUO' E NON DEVE essere soluzione anche dell'affermazione falsa; ne segue che si debbono risolvere tre sistemi due per tre e applicarne la soluzione all'equazione lasciata fuori; solo avendo sott'occhio tutt'e tre i risultati ci si può esprimere sulla situazione.
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* A & G ≡
≡ (7*x - 2*y - 2*z = 0) & (3*x + 2*y - 4*z = 0) ≡ (y = (11/6)*x) & (z = (5/3)*x)
M: x - (11/6)*x + 2*(5/3)*x = (5/2)*x != 0
Se {A, G} sono vere, M è falsa.
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* A & M ≡
≡ (7*x - 2*y - 2*z = 0) & (x - y + 2*z = 0) ≡ (y = (8/3)*x) & (z = (5/6)*x)
G: 3*x + 2*(8/3)*x - 4*(5/6)*x = 5*x != 0
Se {A, M} sono vere, G è falsa.
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* G & M ≡ (3*x + 2*y - 4*z = 0) & (x - y + 2*z = 0) ≡ (x = 0) & (y = 2*z)
A: 7*0 - 2*2*z - 2*z = - 6*z != 0
Se {G, M} sono vere, A è falsa.
MA LE CAMICIE SAREBBERO GRATUITE: quest'alternativa è inaccettabile perché sarebbe contraria alla credibilità del modello.
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CONCLUSIONE
L'affermazione falsa può essere solo G o M: A dev'essere vera.
Di questa conclusione si deve controllare la in/compatibilità con ciascuna delle opzioni proposte.
Risultano compatibili le opzioni {B, D, E} e la risposta è la E.






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