[Risolto] problema di geometria

Primo caso:

Ipotesi: il triangolo BCE è isoscele su BE, cioe' $\mathrm{CE}=\mathrm{BE}$ e inoltre
$E \hat{B} C=B \hat{E} C$

Tesi: il segmento BE è bisettrice dell'angolo del parallelogramma di vertice B, cioe $E \hat{B} C=E \hat{B} A$

Dimostrazione:
Nel triangolo CEB:
$E \hat{B} C+B \hat{C} E+C \hat{E} B=\pi$
Nel parallelogramma ABCD:
$C \hat{B} A+B \hat{A} D+A \hat{D} C+D \hat{C} B=2 \pi$
Inoltre $A \hat{D} E=C \hat{B} A=E \hat{B} A+B \hat{C} E$
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$E \hat{C} B=B \hat{A} D$
per cui sostituendo nell'equazione in blu:
$E\hat{B}A+B\hat{C}E+E\hat{C}B+E\hat{B}A+B\hat{C}E+D\hat{C}B=2\pi\\ 2(E\hat{B}A+B\hat{C}E+E\hat{C}B)=2\pi\\ E\hat{B}A+B\hat{C}E+E\hat{C}B=\pi$
e dal confronto con la prima equazione si ottiene:
$E \hat{B} A=E \hat{B} C$
c.v.d.

Secondo caso:

Ipotesi: il segmento BE è bisettrice dell'angolo del parallelogramma di vertice $\mathrm{B}$, cioe
$E \hat{B} C=E \hat{B} A$

Tesi: il triangolo BCE è isoscele su BE

Dimostrazione:
considero le parallele $\mathrm{DC}$ e $\mathrm{AB}$, tagliate dalla trasversale $\mathrm{EB}$ :
$\cup E D=D D A$
di conseguenza $E \hat{B} C=C \hat{E} B$
ed il triangolo $\mathrm{ECB} \mathrm{e}^{\prime}$ isoscele