[Risolto] Problema con Parabola, non riesco a risolvere

Intanto la figura:

x = a·y^2 + b·y è la parabola ad asse orizzontale di riferimento. Determiniamola con le condizioni:

{-2 = a·4^2 + b·4 (passaggio per il vertice V)

{- b/(2·a) = 4 (asse orizzontale equazione: y = - b/(2·a) )

quindi risolviamo:

{16·a + 4·b = -2

{b = - 8·a

Per sostituzione: 16·a + 4·(- 8·a) = -2-----> - 16·a = -2----> a = 1/8

quindi: b =-1

equazione parabola completa:

x = y^2/8 - y

da cui risolvendola rispetto ad y:

y = 2·√2·(√2 - √(x + 2)) ∨ y = 2·√2·(√(x + 2) + √2)

La seconda funzione si scarta perché offre ordinate y>4

Quindi: y = 4 - 2·√2·√(x + 2)--------> y = 4 - √(16 + 8x)

Una retta tangente al vertice V(-2,4) è ovviamente: x=-2

L'altra la puoi ottenere in almeno due modi

Se conosci le derivate:

y' = m =- √2/√(x + 2) per x=0-----> y=-x ( hai m=-1)

L'altro modo con le formule di sdoppiamento applicate all'intera parabola: ottieni sempre y=-x

Quindi risolvi:

{y = -x

{x = -2

ed ottieni: [x = -2 ∧ y = 2]------> A(-2,2)

Per il punto intermedio ci riesci da solo. Per il punto finale vedi:

"Determina l'equazione dell'arco di parabola in figura" E' UNA BARZELLETTA, mica una consegna!
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1) "Determina l'equazione dell'arco ..." EQUAZIONE CHE NON ESISTE.
L'equazione è quella della curva intera; per specificarne un arco serve un sistema fra l'equazione della curva e una o due disequazioni.
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2) "... di parabola ..." SENZ'ALTRA SPECIFICAZIONE.
La generica equazione di parabola, con cinque parametri, è
* Γ ≡ (u*x + v*y)^2 + p*x + q*y + r = 0
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3) "... in figura"
Le informazioni desumibili dalla figura sono
3a) l'origine appartiene a Γ ≡ r = 0 →
→ Γ ≡ (u*x + v*y)^2 + p*x + q*y = 0
3b) il vertice è in V(- 2, 4) →
→ (- 2*u + v*4)^2 - 2*p + q*4 = 0 ≡ p = 2*(q + (u - 2*v)^2) →
→ Γ ≡ (u*x + v*y)^2 + 2*(q + (u - 2*v)^2)*x + q*y = 0
3c) la prosecuzione punteggiata ≡ y <= 4
quindi l'arco è definito da
* ((u*x + v*y)^2 + 2*(q + (u - 2*v)^2)*x + q*y = 0) & (y <= 4) & V(- 2, 4)
dove ci sono ancora tre parametri liberi, che il vincolo sul vertice non può determinare tutti.
Pertanto c'è un'infinità di possibili espressioni che rispettano l'enunciato della pseudoconsegna barzelletta. E poiché le risposte ai successivi quesiti (a, b, c) si basano su quell'espressione l'intero esercizio, così com'è scritto, è una barzelletta.
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QUALCHE DETTAGLIO
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Per V(- 2, 4) passano tutte e sole le rette:
* x = - 2, parallela all'asse y;
* r(k) ≡ y = 4 + k*(x + 2), per ogni pendenza k reale.
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Se uno di u o v fosse nullo si cadrebbe nel caso semplice a tre soli parametri con asse di simmetria parallelo a un'asse coordinato, ma il testo non ha specificato nulla del genere.
E' giuocoforza ritenere u e v entrambi non nulli, per cui:
* l'asse di simmetria è la retta per V con pendenza m = - u/v: y = 4 - (u/v)*(x + 2);
* la tangente di vertice è la retta per V con pendenza m' = - 1/m = v/u: y = 4 + (v/u)*(x + 2).
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Il sistema
* (y = 4 + (v/u)*(x + 2)) & ((u*x + v*y)^2 + 2*(q + (u - 2*v)^2)*x + q*y = 0)
ha risolvente
* (u*x + v*(4 + (v/u)*(x + 2)))^2 + 2*(q + (u - 2*v)^2)*x + q*(4 + (v/u)*(x + 2)) = 0 ≡
≡ (x + 2)*(x*(u^2 + v^2)^2 + (2*u + v)*(u*(q + 4*v^2) + 2*v^3)) = 0
con discriminante
* Δ(q, u, v) = (u*(q*(2*u + v) - 2*u^3 + 4*u*v^2 + 8*v^3))^2
che per la tangenza dev'essere zero.