RIPASSINO
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Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Si trova l'equazione della circonferenza trovando i tre parametri (a, b, q).
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La retta polare p(Γ, P) del punto P(u, v), il polo, rispetto alla conica Γ si ottiene dall'equazione di Γ in forma normale canonica, f(x, y) = 0, lasciandone inalterati i coefficienti e operando le sostituzioni (formule di sdoppiamento):
* x^2 → u*x
* y^2 → v*y
* x*y → (v*x + u*y)/2
* x → (u + x)/2
* y → (v + y)/2
Se P è interno a Γ, p(Γ, P) non interessa il problema delle tangenti.
Se P è su Γ, p(Γ, P) è la tangente in P.
Se P è esterno a Γ, p(Γ, P) interseca Γ nei punti di tangenza delle tangenti condotte da P.
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Data una circonferenza di raggio r, e una sua corda di estremi A e B, l'angolo β sotteso dalla corda AB con vertice al centro della circonferenza è detto angolo al centro; ciascun angolo α sotteso da AB e con vertice sulla circonferenza è detto angolo alla circonferenza.
Il "Teorema della corda" formalizza il seno di α = β/2 come metà corda della circonferenza con r = 1
* |AB| = c = 2*r*sin(α) = 2*r*sin(β/2)
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L'area di un quadrilatero con diagonali ortogonali è il loro semiprodotto.
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ESERCIZIO 122
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a) Con C(- 4, 0) e r = 2 si ha
* Γ ≡ (x + 4)^2 + y^2 = 4 ≡ x^2 + y^2 + 8*x + 12 = 0
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b) Col polo O(0, 0) si ha
* p(Γ, P) ≡ x*0 + y*0 + 8*(x + 0)/2 + 12 = 0 ≡ x = - 3
* p & Γ ≡ (x = - 3) & ((x + 4)^2 + y^2 = 4) ≡ A(- 3, - √3) oppure B(- 3, √3)
* OA ≡ y = x/√3
* OB ≡ y = - x/√3
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c) La richiesta area S del triangolo colorato è la differenza fra quella S(CAOB) dell'aquilone CAOB e quella S(CAB) del settore CAB.
* |OC| = 4
* |AB| = 2*√3 = 4*sin(β/2)
* sin(β/2) = √3/2 ≡ β = 2*arcsin(√3/2) = 120°
* S(CAOB) = |OC|*|AB|/2 = 4*√3
* S(CAB)/(π*r^2) = 120°/360° ≡ S(CAB) = π*2^2/3 = 4*π/3
* S = S(CAOB) - S(CAB) = 4*(√3 - π/3) ~= 2.7394 ~= 2.7
