Incolonnando a inizio paragrafo i verbi all'imperativo e numerandoli si vede che l'esercizio chiede di risolvere cinque problemi in cascata, uno dei quali (tracciare la circonferenza) incidentale, non necessario per la parte matematica e implicitamente richiesto (a sua insaputa?) dall'autore della consegna scritta in rosso in testa al riquadro ("le figure indicate" sono quattro, due rette e due coniche. Per risolvere la parte matematica la circonferenza non serve, ma la si deve rappresentare graficamente.).
-----------------------------
1) Determina l'equazione della retta t tangente in T(1, 3) alla circonferenza con centro in C(- 2, 0), quindi
2) scrivi l'equazione della parabola passante per il punto A(- 1, 9) e di vertice V(3/2, 11/4) e
3) verifica che risulta tangente in T alla retta t.
4) Trova l'equazione di una retta parallela all'asse y che interseca la parabola in P e la retta t in Q in modo che l'area del triangolo PQT sia uguale a 108.
5) Rappresenta graficamente le figure indicate in un opportuno piano cartesiano.
-----------------------------
1) Per il punto T(1, 3) passano tutte e sole le rette:
* x = 1 oppure
* t(k) ≡ y = 3 + k*(x - 1)
fra cui quella per C(- 2, 0) deve soddisfare a
* 0 = 3 + k*(- 2 - 1) ≡ k = 1
e, avendo pendenza uno, dice che la tangente è quella di pendenza meno uno
* t ≡ t(- 1) ≡ y = 4 - x
---------------
Essendo |CT|^2 = 18 la circonferenza risulta
* Γc ≡ (x + 2)^2 + y^2 = 18
-----------------------------
2) Di parabole col vertice V(3/2, 11/4) che passino per A(- 1, 9) ce ne sono un'infinità: al variare dell'inclinazione dell'asse di simmetria entro un ampio angolo esse hanno aperture tali da passare per A. Ti mostro le due più semplici da calcolare.
* Γx ≡ x = 3/2 - (8/125)*(y - 11/4)^2
* Γy ≡ y = 11/4 + (x - 3/2)^2
---------------
Dal grafico al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D4-x%2C%28x--2%29%5E2%3D18-y%5E2%2Cx%3D3%2F2-%288%2F125%29*%28y-11%2F4%29%5E2%2Cy%3D11%2F4--%28x-3%2F2%29%5E2%5Dx%3D-20to20%2Cy%3D-20to20
si vede che l'autore intendeva scrivere «... equazione della parabola con asse parallelo all'asse y passante ...», ma che la specificazione sull'inclinazione dell'asse di simmetria evaporò a sua insaputa.
NB: questo è un risultato parziale del problema 5.
-----------------------------
3) Il sistema
* t & Γy ≡ (y = 4 - x) & (y = 11/4 + (x - 3/2)^2) ≡ T(1, 3)
verifica l'asserto presentando una soluzione reale doppia in T.
-----------------------------
4) La generica parallela all'asse y
* p ≡ x = k
ha intersezioni
* (x = k) & (y = 11/4 + (x - 3/2)^2) ≡ P(k, k^2 - 3*k + 5)
* (x = k) & (y = 4 - x) ≡ Q(k, 4 - k)
distanti fra loro la base del triangolo PQT
* b = |yP - yQ| = |(k^2 - 3*k + 5) - (4 - k)| = |(k - 1)^2| = (k - 1)^2
mentre l'altezza è
* h = |k - xT| = |k - 1|
quindi l'area S risulta
* S(k) = b*h/2 = |k - 1|*(k - 1)^2/2 = |k - 1|^3/2
e vale 108 nelle radici di
* S(k) = |k - 1|^3/2 = 108 ≡ |k - 1| = ∛(2*108) = 6 ≡
≡ (k = - 5) oppure (k = 7)
da cui
* P(- 5, 45), Q(- 5, 9)
oppure
* P(7, 33), Q(7, - 3)
-----------------------------
5a) Per P(- 5, 45), Q(- 5, 9)
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%284-x-y%29*%28x--5%29%3D0%2C%28x--2%29%5E2%3D18-y%5E2%2Cy%3D11%2F4--%28x-3%2F2%29%5E2%5Dx%3D-15to15%2Cy%3D-5to55
http://www.wolframalpha.com/input?i=triangle%281%2C3%29%28-5%2C45%29%28-5%2C9%29
---------------
5b) Per P(7, 33), Q(7, - 3)
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%284-x-y%29*%28x-7%29%3D0%2C%28x--2%29%5E2%3D18-y%5E2%2Cy%3D11%2F4--%28x-3%2F2%29%5E2%5Dx%3D-15to15%2Cy%3D-5to45
http://www.wolframalpha.com/input?i=triangle%281%2C3%29%287%2C33%29%287%2C-3%29
