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[Risolto] Problema area tra ellisse e parabola

  

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Considera l’ellisse di equazione (x^2/16)+(y^2/4)=1. Indica con A il vertice dell'ellisse avente ascissa positiva e con B il vertice dell'ellisse avente ordinata positiva. Scrivi l'equazione della parabola che passa per A e B, avente come asse la retta di equazione x=9/4. Determina l'area della regione di piano limitata dall'arco AB di ellisse contenuto nel primo quadrante e dall'arco AB di parabola.

N.236

image 4

l’equazione della parabola l’ho trovata, la fornisce anche il libro: y=x^2-(9/2)x+2

fornisco anche l’immagine:

85179848 219C 4788 B73C 69DF9A84BEED

 

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Mi domando come non sia stata ancora aggiudicata la risposta migliore!

Determino i vertici richiesti

{x^2/16 + y^2/4 = 1

{y = 0

Risolvo: [x = 4 ∧ y = 0, x = -4 ∧ y = 0]---------->A(4,0)

{x^2/16 + y^2/4 = 1

{x = 0

Risolvo: [x = 0 ∧ y = 2, x = 0 ∧ y = -2]--------->B(0,2)

parabola ad asse verticale: y = a·x^2 + b·x + c con asse  x = - b/(2·a)

La determino con il passaggio per i punti assegnati e con l'informazione riguardante l'asse

{0 = a·4^2 + b·4 + c

{2 = a·0^2 + b·0 + c

{- b/(2·a) = 9/4

Ossia risolvo il sistema:

{16·a + 4·b + c = 0

{c = 2

{b/a = - 9/2

quindi: a = 1 ∧ b = - 9/2 ∧ c = 2

Parabola:  y = x^2 - 9·x/2 + 2

Osservo che l'iperbole nel tratto in questione è definita da una funzione irrazionale:

y = √(16 - x^2)/2

e tale iperbole è sempre sopra la parabola. Quindi devo fare la differenza:

√(16 - x^2)/2 - (x^2 - 9·x/2 + 2)

che porta ad un integrale indefinito (C posto=0)

4·ASIN(x/4) + x·√(16 - x^2)/4 - x^3/3 + 9·x^2/4 - 2·x

e il risultato è quello dell'integrale definito fra 0 e 4:

∫(√(16 - x^2)/2 - (x^2 - 9·x/2 + 2))dx=2·pi + 20/3

image

 

 




1

II vertice della parabola ha ascissa $x_{v}=-\frac{b}{2 a}=\frac{9}{4}$
Inoltre la parabola passa per $\mathrm{A}(4 ; 0), \mathrm{B}(0 ; 2)$, da cui:
$$
\left\{\begin{array}{c}
9 a+2 b=0 \\
16 a+4 b+c=0 \Rightarrow\{ \\
c=2
\end{array} \quad \begin{array}{c}
9 a+2 b=0 \\
8 a+2 b=-1
\end{array}\right.
$$
Sottraendo la seconda dalla prima: $9 a-8 a=1 \Rightarrow a=1$
e infine $b=-\frac{9}{2} \cdot a=-\frac{9}{2}$
L'equazione della parabola è $\gamma_{2}: y=x^{2}-\frac{9}{2} x+2$
Per trovare l'area del segmento parabolico delimitato dalla corda $\mathrm{AB}$ prima troviamo il coefficiente angolare della retta per A e B:
$$
m_{\mathrm{AB}}=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}
$$

Poi la retta tangente alla parabola con coefficiente angolare $\mathrm{m}_{\mathrm{AB}}$ :
$$
-\frac{1}{2} x+q=x^{2}-\frac{9}{2} x+2 \Rightarrow x^{2}-4 x+2-q=0 \Rightarrow \frac{\Delta}{4}=4-2+q
$$
Posto $\Delta / 4=0$ si trova $: q=-2 .$ ll punto di tangenza è $x_{D}=2$ e $y_{D}=4-\frac{9}{2} \cdot 2+2=-3$
La distanza HD del punto $D(2 ;-3)$ dalla retta $r_{\mathrm{AB}}: y=-\frac{1}{2} x+2 \Rightarrow r_{\mathrm{AB}}: x+2 y-4=0$ :
$$
\mathrm{HD}=\frac{|2-6-4|}{\sqrt{1+4}}=\frac{8}{\sqrt{5}}=\frac{8}{5} \sqrt{5} \simeq 3.58
$$
La lunghezza di $\mathrm{AB}: \mathrm{AB}=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2 \sqrt{5} \simeq 4.47$
L'area del segmento parabolico è: Area $_{\mathrm{sp}}=\frac{2}{3} \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{DH}=\frac{2}{3} \cdot 2 \sqrt{5} \cdot \frac{8}{5} \sqrt{5}=\frac{32}{3}$
Per trovare l'area dell'ellisse compresa fra l'arco $\mathrm{AB}$ e il segmento $\mathrm{AB}$ si può sottrarre da un quarto dell'area dell'ellisse l'area del triangolo rettangolo AOB:
$$
\text { Are } a_{\mathrm{se}}=\frac{\pi \mathrm{a} b}{4}-\frac{x_{A} y_{B}}{2}=\frac{\pi 2 \cdot 4}{4}-\frac{2 \cdot 4}{2}=2 \pi-4
$$
L'area richiesta è : Area $=$ Area $_{\mathrm{sp}}+$ Area $_{\mathrm{se}}=\frac{32}{3}+2 \pi-4=2 \pi+\frac{20}{3}$

Ellisse
0

L'ellisse data è
* Γe ≡ (x/4)^2 + (y/2)^2 = 1 ≡ y = ± √(16 - x^2)/2
quindi i vertici sono
* A(4, 0), B(0, 2), C(- 4, 0), D(0, - 2)
------------------------------
La retta
* r ≡ x = 9/4
parallela all'asse y, è l'asse di simmetria della parabola incognita e quindi l'equazione ha la forma
* Γp ≡ y = h + a*(x - 9/4)^2
i cui parametri (apertura "a != 0", ordinata di vertice "h") si trovano come soluzione del sistema di vincoli imposti dalle condizioni di passaggio per A e B
* (0 = h + a*(4 - 9/4)^2) & (2 = h + a*(0 - 9/4)^2) & (a != 0)
da cui
* (a, h) = (1, - 49/16)
* Γp ≡ y = (x - 9/4)^2 - 49/16 = (x - 1/2)*(x - 4) = x^2 - (9/2)*x + 2
che interseca l'ellisse, oltre che in A e B, anche in
* P((5 - √7)/2, (- 5 - √7)/4), Q((5 + √7)/2, (- 5 + √7)/4)
------------------------------
L'area del segmento parabolico delimitato dalla corda AB è
* S(BVA) = |a/6|*(|xA - xB|)^3 = 4^3/6 = 32/3
------------------------------
L'area del segmento ellittico delimitato dalla corda AB è la differenza fra quella di un quarto d'ellisse (2*π) e quella del triangolo BOA (2*4/2 = 4)
* S(BAB) = 2*π - 4
------------------------------
L'area richiesta è la somma di quelle dei segmenti parabolico ed ellittico delimitati dalla corda AB
* A = S(BVA) + S(BAB) =
= 32/3 + 2*π - 4 = 20/3 + 2*π ~= 12.94985 ~= 12.95






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