Ellisse

Disegna l'ellisse per punti, disegni le rette per punti e guardi se le rette sono esterne, tangenti o secanti l'ellisse.

Da un punto di vista analitico, devi mettere a sistema ellisse e retta. Procedi con il metodo di sostituzione ed ottieni una equazione di 2° grado in x. Se questa equazione che ottieni in questo modo ammette 2 soluzioni allora la retta considerata è secante in punti che hanno 2 ascisse distinte; se ottieni due radici reali e coincidenti avrai una retta tangente, se ottieni una equazione impossibile la retta è esterna all'ellisse.

Graficamente devi procedere come illustrato sotto.

Prima dei chiarimenti sull'esercizio credo ti saranno utili per le prossime domande un paio d'osservazioni critiche su come hai presentato questa con l'infelicissima frase "qualcuno potrebbe aiutarmi che non so proprio da dove partire" che presta il fianco a diverse contestazioni.
1) "non so proprio da dove partire" ha l'interpretazione benevola "Non ho studiato la teoria nemmeno quel minimo per sapere da dove iniziare" e quella malpensante "Ci sarà un fesso che mi svolge l'esercizio pronto da copiare, no?". Cerca di non scriverlo più.
2) "potrebbe" l'uso del condizionale (apòdosi) induce irresistibilmente a risponderti con una pròtasi su misura che potrebb'essere anche sconcia; p.es. "sì, a patto che tu facessi questo, quest'altro e quest'altro ancora" (NB che ciò vale anche in "qualcuno mi aiuterebbe" se elimini il verbo servile). Cerca di evitarlo.
3) "potrebbe" l'uso del verbo "potere" (anche all'indicativo "qualcuno può aiutarmi") in un'interrogativa induce irresistibilmente a ritenerla un sondaggio e non una richiesta e quindi a risponderti "Sì, io posso: si vince qualcosa?" oppure "No, mi spiace, ho daa fare: devo rapinare una PIM.". Anche questo è da evitare.
3) "qualcuno" provoca la razione più cattiva delle quattro perché ti fa fare la figuraccia della lecchina e/o della stupida. Ma come! Scrivi a un sito che ha lo scopo d'aiutare gli alunni a chiarirsi le idee e chiedi se qualcuno potrebbe farlo? Ma è ovvio che sì, non c'è da dirlo! Però tu l'hai detto e hai fatto la figuraccia.
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ESERCIZIO
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"non so proprio da dove partire"
Nell'affrontare un esercizio si inizia COL SOLO PENSIERO cercando di vederlo come singola istanza di un problema più generale già risolto nell'ambito di una categoria di problemi già studiata.
La richiesta di stabilire fra una retta e un'ellisse che relazione ci sia (esterne, tangenti, secanti) chiede di risolvere un sistema fra due polinomi nelle variabili (x, y); di grado uno la retta, di grado due l'ellisse. Questo problema fa parte della categoria "Metodi di risoluzione di sistemi di equazioni non lineari".
CONCLUSIONE: "da dove partire?" DAL RIPASSO DI QUEI METODI.
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Dopo aver pensato e concluso si pigliano carta e penna e, durante il ripasso, ci si appunta ciò che può essere utile allo svolgimento dell'esercizio.
In questo caso particolare, retta ed ellisse, gli appunti sul da farsi dovrebbero recare qualcosa del genere che segue.
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Se la retta è parallela a uno degli assi di simmetria dell'ellisse basta il metodo abbreviato: confrontare la sua distanza dal centro con il semiasse del caso; per fare ciò si deve saper trovare le lunghezze dei semiassi e calcolare la distanza punto retta.
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Se la retta non è parallela a un asse dell'ellisse si deve saper applicare il metodo generale: ricavare una variabile dalla retta e sostituirla nell'ellisse, poi calcolare il discriminante dell'equazione ottenuta, di grado due nell'altra variabile, e in base al suo segno determinare il risultato; per fare ciò si deve saper esplicitare una variabile, ridurre un'equazione di secondo grado a forma normale canonica e calcolarne il discriminante.
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Questi appunti costituiscono la procedura per determinare che cosa fare e come farlo; se non si è in grado di eseguire le operazioni segnate come necessarie (semiassi, distanza punto retta, esplicitare, calcolare Δ) occorre ripassare anche quelle prima di poter proseguire con la fase dei calcoli.
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CALCOLI
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A) Ellisse
* Γ ≡ x^2/4 + y^2/6 = 1 ≡ (x/2)^2 + (y/√6)^2 = 1
semiassi (a, b) = (2, √6 > 2) → fuochi sull'asse y
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B) Retta
* s ≡ x - 2 = 0 ≡ x = 2
parallela all'asse y, a distanza 2 dal centro O(0, 0) di Γ.
La distanza eguale al semiasse "a" denota tangenza fra s e Γ.
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C) Retta
* r ≡ 2*x + y + 1 = 0 ≡ y = - (2*x + 1)
non essendo parallela a un asse, serve il metodo generale.
si ha
* r & Γ ≡ (y = - (2*x + 1)) & ((x/2)^2 + (y/√6)^2 = 1) ≡
≡ (y = - (2*x + 1)) & ((x/2)^2 + (- (2*x + 1)/√6)^2 = 1)
da cui
* (x/2)^2 + (- (2*x + 1)/√6)^2 = 1 ≡
≡ (x/2)^2 + (- (2*x + 1)/√6)^2 - 1 = 0 ≡
≡ x^2 + (8/11)*x - 10/11 = 0
e
* Δ = 504/121 ~= 4.165 > 0
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Il discriminante positivo denota l'esistenza di due radici reali distinte e pertanto che r e Γ sono secanti.