Ciao!
Qual è la probabilità di estrarre una banconota da 100€?
$E = $ estraggo una banconota da 100 euro.
Se mi capita la scatola $S_1$ non ho modo di estrarre una banconota da 100 euro, quindi $P(E|S_1) = 0$
Se mi capita la scatola $S_2$ la probabilità di estrarre la banconota da 100 euro è
$P(E|S_2) = \frac12 $
Se mi capita la scatora $S_3$ sicuramente estraggo la banconota da 100 euro, quindi:
$P(E|S_3) = 1$
Calcoliamo la probabilità di $E$ usando la seguente formula:
$$ \sum_{i} P(E|S_i)P(S_i)$$
quindi, dato che $P(S_1)=P(S_2)=P(S_3) = \frac13$ Perchè le scelgo con la stessa probabilità, casualmente, abbiamo
$P(E) = P(E|S_1)P(S_1) + P(E| S_2)P(S_2)+P(E|S_3)P(S_3) = 0+\frac12\cdot \frac13+1\cdot\frac13 = \frac16+\frac13 = \frac12 $
Sapendo che è stata estratta una banconota da 100€, qual è la probabilità che provenga dalla terza scatola?
Ora usiamo Il teorema di Bayes:
$$P(S_3|E) = \frac{P(E|S_3)P(S_3)}{P(E)} $$
quindi:
$P(S_3 | E ) = \frac{ 1\cdot \frac13}{\frac12} = \frac23 $
Abbiamo usato il teorema di Bayes considerando le scatole come la partizione dello spazio campionario e l'evento E è un evento possibile.
