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Principi della dinamica

  

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Un semaforo di peso 122 N pende da un cavo legato a due altri cavi trattenuti da un supporto come in Figura. I cavi superiori formano due angoli di 37.0° e 53.0° con l'orizzontale. Questi cavi superiori non sono così robusti come il cavo verticale, e si romperebbero se la tensione in essi superasse 100 N. Il semaforo rimarrà in questa situazione oppure uno dei cavi si romperà?

 

Ho svolto questo problema, allegando anche l’immagine, ma per ottenere il risultato corretto ho dovuto scrivere due sistemi diversi: uno riguardanti le forze che agiscono sul nodo, l’altro riguardo quelle agenti sul semaforo. Ho provato poi ad eseguirlo senza “spezzare” i sistemi e facendone uno solo, ma non mi viene. Potrei aver sbagliato qualcosa oppure proprio non si può usare questo metodo? 

Autore

@_giulia_  La tua figura non corrisponde al triangolo delle forze. Gli angoli acuti sono diversi. Se disegni il parallelogramma delle forze, vedrai che T1 a sinistra è minore di T2 a destra; la somma delle componenti verticali y, deve dare 122 N.

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4 Risposte



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image

{Χ·COS(37°) = Υ·COS(53°)

{Χ·SIN(37°) + Υ·SIN(53°) = 122

se lo risolvi ottieni: [Υ = 97.4 N ∧ Χ = 73.4 N]

I cavi superiori reggono.

@lucianop 👍👌👍 Felice Pasquetta



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tensionicavi

 

I vettori tensione T1 e T2 non devono superare i 100 N;

- T1x + T2x = 0, in orizzontale le componenti si devono annullare.

T1x verso sinistra; T2x verso destra;

T1y + T2y = (F peso semaforo); in verticale verso l'alto;

 

- T1 cos37° + T2 cos 53° = 0 N;  (1)

T1 * sen37°  + T2 sen53° = 122 N;  (2)

 

+ T1 * 0,799 - T2 * 0,602 = 0; (1)  (cambiando segno);

T1 * 0,602 + T2 * 0,799 = 122;  (2)

T1 =  T2 * 0,602/ 0,799;  (1)

T1 = T2 * 0,7534;  (1)  sostituiamo nella  (2);

[ T2 * 0,7534] * 0,602 + T2 * 0,799 = 122;  (2)

 

 T2 * 0,454 + T2 * 0,799 = 122;  (2)

T2 * 1,253 = 122;

T2 = 122 / 1,253;

T2 = 97,4 N  < 100 N;

T1 = T2 * 0,7534 = 97,4 * 0,7534 = 73,4 N < 100 N;

i cavi reggono.

Ciao @_giulia_

 

 

 

@mg 👍👌🌹👍 Felice Pasquetta



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Scrivendo l'equilibrio per componenti

T2 sin 53° + T1 sin 37° = 122     su y

T2 cos 53° - T1 cos 37° = 0        su x

Ponendo a = 37° e osservando che, del tutto casualmente, 53° = 90° - a

riordiniamo in

 

T1 sin a + T2 cos a = 122

T1 cos a - T2 sin a = 0

 

Il determinante di Cramer é D = - sin^2(a) - cos^2(a) = -1

T1 = det [ 122 cos a; 0   - sin a ]/(-1) = 122 sin a   N

T2 = T1 cos a/sin a = 122 cos a  N

Poiché a = 37° < 45°

il coseno é maggiore del seno

Essendo 122 cos 37° = 97.43 N < 100 N

i cavi reggeranno.

@eidosm 👍👌👍 Felice Pasquetta



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image

seno 37° = 0,60 ; cos 37° = 0,80

seno 53° = 0,80 ; cos 53° = 0,60 

ciò premesso : 

equilibrio orizzontale :

T1*cos 37° = T2*cos 53°

0,8T1 = 0,6T2 

0,8T1/T2 = 0,6

T1/T2 = 0,6/0,8 = 3/4 = 0,75

T1 = 0,75T2

equilibrio verticale :

122 = T1*sen 37°+T2*sen 53°

122 = 0,75T2*sen 37°+T2*sen 53°

122 = 0,45T2+0,8T2 = 1,25T2

T2 = 122/1,25 = 97,60 N < 100 

T1 = 0,75*T2 = 73,2 N < 100  

ambo i cavi reggono 

 

 

@remanzini_rinaldo 

👍 👍 👍 

Ciao . Buona Pasquetta!



Risposta
SOS Matematica

4.6
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