Nella figura qui a fianco il triangolo $A B C$ è rettangolo in $B$ e il triangolo $B C D$ è isoscele sulla base $C D$. Le misure indicate di $A B$ e $A C$ sono in centimetri. Calcola l'area del triangolo $A B D$.
Nella figura qui a fianco il triangolo $A B C$ è rettangolo in $B$ e il triangolo $B C D$ è isoscele sulla base $C D$. Le misure indicate di $A B$ e $A C$ sono in centimetri. Calcola l'area del triangolo $A B D$.
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Livello 0
L'area del triangolo ABD è pari alla differenza tra le aree dei due triangoli ABC e BDC.
S = AB*BC/2 = 12*5/2 = 30 cm²
Ipotenusa AC = √(AB²+BC²) = √(12²+5²) = 13 cm ← Abbiamo applicato Pitagora
Applicando Euclide 2 determiniamo il segmento HC dove H è il piede dell'altezza rispetto all'ipotenusa.
Altezza rispetto ad AC. BH = 2*S/AC = 60/13 cm
Euclide 2.
BH²=AH*HC
BH²=(AC-HC)*HC
BH²=AC*HC-HC²
HC²-AC*HC+BH²=0
HC²-13*HC+(60/13)²=0
che ammette le due soluzioni HC₁=25/13 & HC₂=144/13.
Le due soluzioni sono entrambe valide ma è la prima che rispecchia il disegno, l'altra soluzione si riferisce al triangolo rettangolo simmetrico.
Base triangolo DBC. DC = 2*HC = 50/13 cm
Area triangolo BDC. s = BH*DC/2 = (60/13*50/13)/2 = 1500/169 cm²
A = S - s = 30 - 1500/169 = 3570/169 cm²
NB. Si poteva pervenire allo stesso risultato più semplicemente usando il solo Pitagora.
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Livello 1
Ciao e benvenuta
Con Pitagora calcolo AC =√(AB^2 + BC^2)
AC= √(12^2 + 5^2) = 13 cm
Calcolo l’altezza BF (vedi figura) comune ai triangoli BDC e ABC:
A = area triangolo ABC =1/2*AB*BC=1/2·12·5 = 30 cm^2
Quindi 1/2 * AC* BF= A---------> BF= 2*A/AC=2·30/13 = 60/13 cm
Quindi: CF= √(5^2 - (60/13)^2) = 25/13 cm--------> DC=2*CF=50/13 cm
AD=13 - 50/13 = 119/13 cm
Area ABD = 1/2 *AD*BF= 1/2·119/13·60/13 = 3570/169 cm^2 ( 21.124 cm^2)
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Genius II
intanto l'area del triangolo rettangolo è:
Sq =12*5/2 = 30 cm²
BE è medio proporzionale tra EC e AE (= AC - EC) ---> Euclide
{... si scrivono i segmenti ma si intendono le loro "misure" ... manca la lineetta sopra!}
EC:BE = BE : AE ---> BE = radq(EC*AE) = radq(EC ( AC - EC)) = radq(EC*AC - EC²) --->(1)
ma
AC = radq(12² + 5²) = 13 cm , per Pitagora ancora.
e ... BE = radq ( 5² -EC²) ---> (2)
per confronto tra (1) e (2) si ricava:
(EC*AC - EC²) = ( 5² -EC²) ---> EC = 5²/AC = 25/13 = 1,923(076923)
quindi:
BE = h = radq ( 5² -EC²) = radq ( 25 -(25 /13)²) = 60/13 cm
............................ ............................ ............................ ............................
oppure più rapidamente:
sono simili ABC e CEB {angolo in C^ tra cateto e ipotenusa in comune e ciò implica 3° angolo uguale ---> 3° criterio} e vale il rapporto tra i lati:
AC/BC = 13/5
quindi:
h =12/(13/5) = 60 /13 cm ed EC = 5/(13/5) = 25 /13 cm ---> OK!
............................ ............................ ............................ ............................
e l'area dell'isoscele è:
Si = DC*h/2 = 2EC*h/2 = EC*h = 25/13*60/13 = 1500/169 cm²
in definitiva:
Sabd = 30 -1500/169 = 3570/169 cm² ---> OK!
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Livello 5
Unità di misura: lunghezza, cm; superficie, cm^2; angolo, rad.
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Nel triangolo rettangolo di vertici ABC nomino con le lettere minuscole greche gli angoli interni ai vertici corrispondenti
* α, β, γ
e con le lettere minuscole latine i lati opposti
* a = |BC| = 6*√3
* b = |AC| < a
* c = |AB| = √(a^2 + b^2) = √(108 + b^2)
* 0 < b <= a < c = √(a^2 + b^2)
------------------------------
Che ACD sia un triangolo equilatero di lato L = b implica
* α = π/3
e quindi che ABC è metà di un triangolo equilatero di lato c, quindi con
* b = c/2 = √(108 + b^2)/2
da cui
* b = 6
* c = √(108 + 6^2) = 12
* area S(ABC) = a*b/2 = 18*√3
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Il triangolo equilatero ACD di lato L = 6 ha
* altezza h = (√3/2)*6 = 3*√3
* area S(ACD) = (√3/4)*6^2 = 9*√3
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Il risultato richiesto è l'area
* S(BCD) = S(ABC) - S(ACD) = 18*√3 - 9*√3 = 9*√3
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Genius I
... controlla perchè il tuo risultato è irrazionale mentre quello del testo è razionale 3570/169 cm²
... forse ACD non è equilatero?
@nik @luciacozaa Sono andato fuori tema, fuorviato dalle foto micragnose. Ho risolto l'esercizio #10, invece questo è il #7. Il ragionamento è lo stesso, ma con dati differenti. Chiedo scusa.
AC = √12^2+5^2 = √169 = 13,0 cm
BE = 60/13
Euclide dixit :
BE^2 = AE*(13-AE)
ciò implica la similitudine tra AEB e BCE , col che il rapporto lati i è pari a 12/5 e AE = BE*12/5 = 60/13*12/5 = 12^2/13
EC = 13-12^2/13 = 25/13
AD = AE-EC = 144/13-25/13 = 119/13
area ABD = 119/13*30/13 = 3570/169 cm^2
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Genius II
