Piano cartesiano e rette

4x + 3y + k = 0

posto x = 0 =>  3y = -k =>  y = -k/3

posto y = 0 =>  4x + k = 0 => x = -k/4

per il teorema di Pitagora  c^2 = k^2/9 + k^2/16 = 25 k^2/144

il perimetro é -k/3 - k/4 - 5k/12 = 24 rad 2

k = -24 rad 2

4x + 3y - 24 rad 2 = 0

La retta data
* 4*x = - 3*y - 6 ≡ y = - 2 - (4/3)*x
è l'elemento r(- 2) del fascio improprio
* r(q) ≡ y = q - (4/3)*x ≡ x/(3*q/4) + y/q = 1
che intercetta gli assi coordinati in
* X(3*q/4, 0), Y(0, q)
da cui il perimetro del triangolo rettangolo OXY
* p(q) = 3*q/4 + q + √((3*q/4)^2 + q^2) = (5*|q| + 7*q)/4
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Il vincolo sul perimetro determina il parametro
* p(q) = (5*|q| + 7*q)/4 = 24*√2 ≡
≡ |q| = (96*√2 - 7*q)/5 ≡
≡ (q = - (96*√2 - 7*q)/5) oppure (q = (96*√2 - 7*q)/5) ≡
≡ (q = 48*√2) oppure (q = 8*√2)
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Verifiche
* (5*|48*√2| + 7*48*√2)/4 = 144*√2: da escludere come spuria
* (5*|8*√2| + 7*8*√2)/4 = 24*√2: da accettare
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L'equazione della retta richiesta è
* r(8*√2) ≡ y = 8*√2 - (4/3)*x