Es 164

@francesca1234

Ciao di nuovo

Il lato l del rombo vale:

l = 2·p/4= √65

Determino asse del segmento AC:

√((x + 6)^2 + (y - 6)^2) = √((x - 6)^2 + (y + 2)^2) elevo al quadrato

(x^2 + 12·x + 36) + (y^2 - 12·y + 36) = (x^2 - 12·x + 36) + (y^2 + 4·y + 4)

x^2 + 12·x + y^2 - 12·y + 72 = x^2 - 12·x + y^2 + 4·y + 40

y = 3·x/2 + 2

Quindi il punto D (e di conseguenza il punto B) ha coordinate: [x, 3·x/2 + 2]

la sua distanza da A deve essere:

l = √((x + 6)^2 + (3·x/2 + 2 - 6)^2)

l = √((x^2 + 12·x + 36) + (9·x^2/4 - 12·x + 16))

l = √(13·x^2/4 + 52)------> l^2 = 13·(x^2 + 16)/4

65 = 13·(x^2 + 16)/4----> 260 = 13·x^2 + 208

quindi:

x = -2 ∨ x = 2

[2, 3·2/2 + 2]----> D[2, 5]

[-2, 3·(-2)/2 + 2]-----> B[-2, -1]

 

 

Per trovare i vertici del rombo ABCD, dobbiamo prima determinare le coordinate dei punti medio M di AC e di BC.

Il punto medio di un segmento di coordinate (x1, y1) e (x2, y2) è dato dalle coordinate ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2).

Quindi, il punto medio M di AC ha coordinate ((-6 + 6)/2, (6 - 2)/2) = (0, 2).

Il punto medio di BC ha coordinate ((6 + 6)/2, (-2 - 6)/2) = (6, -4).

Ora dobbiamo trovare i vertici B e D, che sono simmetrici rispetto ai punti medio M di AC e BC rispettivamente.

Il vertice B ha coordinate simmetriche rispetto a M di AC, quindi le sue coordinate sono (2 * 0 - 6, 2 * 2 - 6) = (-6, -2).

Il vertice D ha coordinate simmetriche rispetto a M di BC, quindi le sue coordinate sono (2 * 6 - 6, 2 * -4 - (-2)) = (6, 6).

Quindi i vertici del rombo ABCD sono A(-6,6), B(-6,-2), C(6,-2) e D(6,6).

Per verificare che questo rombo abbia un perimetro di 4sqrt(65), possiamo calcolare la distanza tra i punti A e B, B e C, C e D e D e A. La distanza tra due punti di coordinate (x1, y1) e (x2, y2) è data dalla formula sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2).

La distanza tra A e B è sqrt((-6 - (-6))^2 + (6 - (-2))^2) = sqrt(0^2 + 8^2) = 8.

La distanza tra B e C è sqrt((6 - (-6))^2 + (-2 - (-2))^2) = sqrt(12^2 + 0^2) = 12.

La distanza tra C e D è sqrt((6 - 6)^2 + (-2 - 6)^2) = sqrt(0^2 + 8^2) = 8.

La distanza tra D e A è sqrt((6 - (-6))^2 + (6 - 6)^2) = sqrt(12^2 + 0^2) = 12.

Il perimetro del rombo ABCD è quindi 8 + 12 + 8 + 12 = 40, che è effettivamente uguale a 4sqrt(65).

In un rombo di diagonali 0 < a < b valgono le relazioni
* lato L = √(a^2 + b^2)/2
* perimetro p = 4*L = 2*√(a^2 + b^2)
* area S = a*b/2
* inraggio r = 2*S/p = a*b/(2*√(a^2 + b^2))
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NEL CASO IN ESAME
Sono dati gli estremi di una diagonale: A(- 6, 6), C(6, - 2) il cui segmento ha:
* punto medio I(0, 2), incentro;
* lunghezza b = 4*√13
* retta sostegno y = 2 - (2/3)*x
* pendenza m = - 2/3
quindi l'altra diagonale dev'essere sulla retta per I con pendenza m' = - 1/m = 3/2
* y = 2 + (3/2)*x
con estremi (B, D) a distanza k = a/2 da I tale da soddisfare alla condizione sul perimetro
* p = 4*L = 2*√(a^2 + b^2) = 4*√65 ≡
≡ √(a^2 + (4*√13)^2) = 2*√65 ≡
≡ a = 2*√13
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Dall'intersezione della retta sostegno con la circonferenza di raggio k si hanno i vertici
* (y = 2 + (3/2)*x) & ((x - 0)^2 + (y - 2)^2 = k^2) ≡
≡ (y = 2 + (3/2)*x) & (x^2 + (2 + (3/2)*x - 2)^2 = (2*√13/2)^2) ≡
≡ (y = 2 + (3/2)*x) & (x^2 + (9/4)*x^2 = 13) ≡
≡ C(- 2, - 1) oppure D(2, 5)
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Inoltre si ha
* area S = a*b/2 = (2*√13)*(4*√13)/2 = 52
* inraggio r = 2*S/p = 2*52/(4*√65) = 52*√65/(2*65) = (2/5)*√65