[Risolto] parallelepipedo

Parallelogramma:

Semiperimetro o somma delle due dimensioni $p= \frac{31}{2} = 15,5~cm$;

conoscendo la differenza tra le due dimensioni calcoliamo come segue:

lato maggiore $= \frac{15,5~+5,5}{2} = \frac{21}{2} = 10,5~cm$;

lato minore $= \frac{15,5~-5,5}{2} = \frac{10}{2} = 5~cm$;

altezza relativa al lato maggiore $h_{rel}= \frac{42}{10,5} = 4~cm$;

l'altezza relativa calcolata divide in due triangoli rettangoli il triangolo formato dal lato minore, dal lato maggiore e dalla diagonale minore incognita del parallelogramma, quindi:

proiezione lato obliquo sul lato maggiore $= \sqrt{5^2~-4^2} = 3~cm$ (teorema di Pitagora; si tratta di un terna pitagorica primitiva);

proiezione diagonale minore sul lato maggiore $= 10,5~-3 = 7,5~cm$

infine:

diagonale minore $= \sqrt{4^2~+7,5^2} = 8,5~cm$ (teorema di Pitagora).

Un parallelogrammo ABCD ha I'area A di 42 ⁢𝑐⁢𝑚2 e il perimetro di 31⁢𝑐⁢𝑚. La differenza tra il lato maggiore e il lato minore misura 5,5 cm. Calcola la misura della diagonale minore.

perimetro 2p = 31 cm = 4*AD+2*5,5

AD = (31-11)/4 = 5,0 cm = BC

AB = CD = 5+5,5 = 10,5 cm 

altezza AH = A/CD = 42/10,5 = 4,0 cm 

DH =  √AD^2-AH^2 = √5^2-4^2 = 3,0 cm

CH = CD-DH = 10,5-3 = 7,5 cm 

diagonale minore AC = √CH^2+AH^2 = √7,5^2+4^2 = 8,5 cm 

vediamo prima i due lati e abbiamo un sistema semplicissimo, che fornisce la soluzione.

2 (a + b) = 31
a - b = 5.5

(a=10.5, b=5)

adesso consideriamo il triangolo con lati a, b, d
dove d e' una diagonale del parall.

il suo semiperimetro:
p = (1/2) (10.5 + 5 + d)

la sua area e' meta' dell'area del parall.
in questo prob. la soluzione piu' rapida e' la formula di erone

S^2 = p(p-a)(p-b)(p-d)
21^2 = p (p-10.5)(p-5)(p-d)

questa ultima, che e' una eq. di secondo grado, ci fornira'
ENTRAMBE le diagonali.

il sistema propone infatti:

d = 8.5
p =(1/2)(10.5 + 5 + 8.5) = 12

d = 14.08
p = (10.5 + 5 + 14.08)/2 = 14.79