[Risolto] Parabola

Ciao @carlop13

Le coordinate del vertice di una parabola del tipo:

y = a·x^2 + b·x + c (ad asse verticale) sono legate ai coefficienti dalle relazioni:

{x = - b/(2·a)

{y = - (b^2 - 4·a·c)/(4·a)

Con riferimento alla prima parabola data:

y = - 2·x^2 + k·x + 4

abbiamo:

{x = - k/(2·(-2)) = k/4

{y = - (k^2 - 4·(-2)·4)/(4·(-2)) = (k^2 + 32)/8

[k/4, (k^2 + 32)/8]

Con riferimento alla seconda parabola data:

y = 2·x^2 + (4 - k)·x + 2·k

{x = - (4 - k)/(2·2) = (k - 4)/4

{y = - ((4 - k)^2 - 4·2·(2·k))/(4·2) = - (k^2 - 24·k + 16)/8

[(k - 4)/4, - (k^2 - 24·k + 16)/8]

Si tratta quindi di determinare il minimo della funzione:

d = √(((k - 4)/4 - k/4)^2 + (- (k^2 - 24·k + 16)/8 - (k^2 + 32)/8)^2)

d = √((-1)^2 + (- k^2/4 + 3·k - 6)^2)

d = √(k^4/16 - 3·k^3/2 + 12·k^2 - 36·k + 37)

Quindi facciamo riferimento al radicando elevando al quadrato entrambi i membri:

d^2 = (k^4 - 24·k^3 + 192·k^2 - 576·k + 592)/16

Quindi dobbiamo cercare il minimo della funzione:

 y = (k^4 - 24·k^3 + 192·k^2 - 576·k + 592)/16

Per essa si ha:

y'= (k^3 - 18·k^2 + 96·k - 144)/4

y''= 3·(k^2 - 12·k + 32)/4

Ponendo la C.N.:

y'=0----> k^3 - 18·k^2 + 96·k - 144 = 0

si hanno i 3 punti critici:

k = 6 - 2·√3 ∨ k = 2·√3 + 6 ∨ k = 6

I primi due forniscono un minimo relativo:

3·((6 - 2·√3)^2 - 12·(6 - 2·√3) + 32)/4 = 6 >0 (concavità verso l'alto)

3·((2·√3 + 6)^2 - 12·(2·√3 + 6) + 32)/4 = 6 >0 come sopra

per k=6 si ha invece:

3·(6^2 - 12·6 + 32)/4 = -3 <0 e quindi un massimo (concavità verso il basso)