Parabola

Area =3/4=0.75. Non è come quella del testo A=3

Visto il commento aggiungo i calcoli.

Per i punti A e B NO PROBLEM! A(0,-4) e B(2,0)

(y + 4)/x = (0 + 4)/(2 - 0) retta per i due punti

y = 2·x - 4--------> 2·x - y - 4 = 0

Un punto sulla parabola ha coordinate: [x, x^2 - 4]  -----> P(x,x^2-4) 

Considera ora un triangolo di base AB ed altezza d data dalla distanza di P da AB

AB=√(2^2 + 4^2) = 2·√5

area triangolo ABP=Α = 1/2·2·√5·d-----> d = √5·Α/5

Deve essere:

d = √5·(3/4)/5-------> d = 3·√5/20

Quindi:

ABS(2·x - (x^2 - 4) - 4)/√(2^2 + (-1)^2) = 3·√5/20

ABS(2·x - x^2) = 15/20

Nel tratto AB possiamo togliere il valore assoluto:

20·x·(2 - x) = 15

risolvo ed ottengo: x = 3/2 ∨ x = 1/2

Quindi due punti:

[3/2, (3/2)^2 - 4] = [3/2, - 7/4]

[1/2, (1/2)^2 - 4] = [1/2, - 15/4]

 

La parabola
* y = x^2 - 4
è il luogo dei punti P(x, x^2 - 4), perciò gli estremi della corda AB sono
* A(0, - 4), B(2, 0)
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La corda AB, lunga |AB| = b = 2*√5, giace sulla retta s
* s ≡ y = 2*x - 4
di pendenza m = 2.
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L'area S di APB è
* S = b*h/2 ≡ 3/4 = (2*√5)*h/2 ≡ h = 3/(4*√5)
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Il luogo dei punti (x, y) a distanza h dalla s sono due parallele
* √((y + 4 - 2*x)^2/5) = 3/(4*√5) ≡
≡ (y = 2*x - 19/4) oppure (y = 2*x - 13/4)
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Un punto P che soddisfaccia alla consegna è, se esiste, una soluzione reale di uno dei due sistemi
* (y = 2*x - 19/4) & (y = x^2 - 4) & (0 < x < 2) ≡
≡ ((1/2, - 15/4) oppure (3/2, - 7/4)) & (0 < x < 2) ≡
≡ (1/2, - 15/4) oppure (3/2, - 7/4)
oppure
* (y = 2*x - 13/4) & (y = x^2 - 4) & (0 < x < 2) ≡
≡ (1 - √7/2, - 5/4 - √7) & (1 + √7/2, - 5/4 + √7) & (0 < x < 2) ~≡
~≡ (- 0.32, - 3.9) & (2.3, 1.4) & (0 < x < 2) ≡
≡ nessuna intersezione sull'arco AB
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CONCLUSIONE
* (1/2, - 15/4) oppure (3/2, - 7/4)
che è proprio il risultato atteso.