Fisica

v fuga = radice(2 * G * Mterra / Rterra);

vo = 1/2 * rad(2 * G * Mterra / Rterra);

vo^2 = 1/4 * 2 * G * Mterra / Rterra  = 1/2 * G * Mterra / Rterra ;

Uo = - G * Mterra * m / Rterra

Energia iniziale:

Eo = Uo + 1/2 m vo^2;

Eo = - G Mterra * m / Rterra + 1/2 * m * [1/2 * G * Mterra / Rterra];

Eo  = - G Mterra * m / Rterra + 1/4 * m * G * Mterra / Rterra = - 3/4 * [G Mterra * m / Rterra] ;

ad altezza h1 =  2 * Rterra, diminuisce la velocità e l'energia cinetica, aumenta l'energia potenziale.

La somma resta uguale a Eo = - 3/4 * [G Mterra * m / Rterra].

E1 = U1 + 1/2 m v1^2;

E1 = Eo.

- G * Mterra * m / (2 * Rterra) + 1/2 m v1^2 = - 3/4 * [G Mterra * m / Rterra];

1/2 m v1^2 = - 3/4 * [G Mterra * m / Rterra] +  [G Mterra * m / (2 * Rterra)];

1/2 m v1^2 = (-3/4 + 1/2) * [G Mterra * m / Rterra];

1/2 m v1^2 = - 1/4 * [G Mterra * m / Rterra],

semplifichiamo m:

v1^2 = - 2/4 * [G Mterra * m / Rterra] < 0;

non è possibile, vuol dire che non può arrivare ad altezza 2 * Rterra, si ferma prima e poi torna verso la Terra.

Vediamo a quale distanza dal centro della Terra,  Rx  inverte il moto. Il proiettile si ferma e l'energia cinetica diventa 0 ;

1/2 m v^2 = 0 J

0  - G M m / Rx = - 3/4 * [G Mterra * m / Rterra];

- 1/Rx = - 3/4 * 1/ (Rterra);

Rx = 4/3 * Rterra;

R terra = 6380 km = 6,38 * 10^6 m;

Rx = 4/3 * 6,38 * 10^6 = 8,51 * 10^6 m;

Rx = 8510 km;

altezza dalla superficie = 8510 - 6380 = 1830 km;

ad altezza 1830 km dalla superficie, il proiettile inverte il moto.

@andrea05  ciao

 

 

Vogliamo intendere "punto materiale" invece di "proiettile"?
Sarà già un casino non poter considerare uniforme l'accelerazione di gravità che, a quote come quelle in consegna, varia sensibilmente con l'altezza; se poi ci dovessimo anche preoccupare delle leggi di balistica esterna (le forze su un proiettile variano MOLTO sensibilmente con la velocità) quest'esercizio diverrebbe una tesina trimestrale.
Già così com'è scritto (anche senza "proiettile") vale un tema d'esame, magari anche all'insaputa dell'autore che non si rendeva conto di cosa stesse scrivendo.
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DA TESTO A FORMULE
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"lanciato verticalmente dalla superficie terrestre"
* (y''(t) = f(y, t)) & (y'(0) = V) & (y(0) = 0)
con y = altezza sulla superficie terrestre > 0
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"con una velocità iniziale uguale alla metá di quella di fuga"
(volevi scrivere "metà", vero? In italiano "á" non esiste!)
* V = 11200/2 = 5600 m/s
* (y''(t) = f(y, t)) & (y'(0) = 5600) & (y(0) = 0)
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Con
* h = metri sul livello del mare
* θ = latitudine
* A = (25/14812)*π
* B = 1/169492
* C = 9.7803184
* D = 3.086/10^6
* geoide = ellissoide oblato
si approssima l'accelerazione di gravità locale con
* g(θ, h) ~= C*(1 + A*sin^2(θ) - B*sin^2(2*θ)) - D*h
se il lancio lo si fa fra Scilla e Cariddi si può semplificare in
* g(h) ~= 9.8 - D*h
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Infine
* (y''(t) = 9.8 - 3.086*y/10^6) & (y'(0) = 5600) & (y(0) = 0) ≡
≡ y(t) = 3175630*(1 - 1.41692*sin(0.0017567*t + 2.35811))
NB: le approssimazioni propagate danno y(0) ~= 23 != 0, quindi
* y(t) = 3175630*(1 - 1.41692*sin(0.0017567*t + 2.35811)) - 23
* v(t) = y'(t) = - 7904.47*cos(0.0017567*t + 2.35811)
NB: y'(0) = 5600 Ok!
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LE CONSEGNE
* raggio terrestre R ~= 6.378*10^6 m
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"velocità del proiettile quando si trova ad un’altrzza uguale al raggio terrestre"
All'istante T > 0
* y(T) = 3175630*(1 - 1.41692*sin(0.0017567*T + 2.35811)) - 23 = 6.378·10^6 ≡
≡ T1 ~= 896.795 s (in salita)
oppure
≡ T2 ~= 1783.55 s (in discesa)
da cui
* v(T1) = - 7904.47*cos(0.0017567*896.795 + 2.35811) ~= + 5552.749 m/s
oppure
* v(T2) = - 7904.47*cos(0.0017567*1783.55 + 2.35811) ~= - 5552.772 m/s
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"distanza dal centro della Terra in cui c’è un inversione di moto"
Il moto s'inverte nell'istante T in cui la velocità s'annulla
* v(T) = - 7904.47*cos(0.0017567*T + 2.35811) = 0 ≡ T ~= 1340 s
* y(T) = 3175630*(1 - 1.41692*sin(0.0017567*1340 + 2.35811)) - 23 ~= 7675220 m
La distanza d richiesta è
* d ~= R + 7675220 m ~= 14053220 m ~= 14053 km