[Risolto] Parabola

a.

Costruiamo il fascio con le parabole degeneri:

1. retta per $\bar{AB}$ e
2. rette parallele all'asse delle y passanti per i punti A e B.

1. Retta passante per A(-3,2) e B(3, -2).  $ y = -\frac{2}{3}x $

2. Parabola degenere costituita da rette parallele all'asse delle y passanti per A e B  $ y = (x+3)(x-3) = x^2-9 $

3. Equazione del fascio. Γ:  $ -\frac{2}{3}x +k(x^2-9) = kx^2 - \frac{2}{3}x -9k $

b.

Determiniamo la parabola del fascio tangente alla retta $ 2x+3y-9k = 0 $

Si tratta di risolvere il sistema retta tangente fascio e imporre una unica soluzione con molteplicità 2.

$ \left\{\begin{aligned} y &= kx^2-\frac{2}{3}x - 9k \\ 0 &= 2x+3y-9 \end{aligned} \right. $

Si sostituisce la y della prima nella seconda ricavando

$kx^2+9k+3 = 0$

Per avere una unica soluzione imponiamo il discriminante eguale a zero

$ Δ = 0$

$ 12k(3k+1) = 0$

che ammette due soluzioni

1. $k = 0$  non accettabile, renderebbe insensato il fascio
2. $k = -\frac{1}{3}$

Verificato con desmos.

https://www.desmos.com/calculator/myiwxkghhx